[论文解读] Statistical properties of diffeomorfisms with weak invariant manifolds

José F. Alves, Davide Azevedo|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文通过引入Gibbs-Markov-Young结构，建立了具有弱不变流形的紧致黎曼流形上微分同胚的相关性与大偏差的多项式衰减。证明了返回时间尾部的多项式控制可导致相关性与大偏差的多项式衰减率，将先前针对非一致双曲系统中指数衰减的结果推广至混合速率更慢的非一致双曲系统。

ABSTRACT

We consider diffeomorphisms of compact Riemmanian manifolds which have a Gibbs-Markov-Young structures, consisting of a reference set $Λ$ with a hyperbolic product structure and a countable Markov partition. We assume polynomial contraction on stable leaves, polynomial backward contraction on unstable leaves, a bounded distortion property and a certain regularity of the stable foliation. We establish a control on the decay of correlations and large deviations of the SRB measure of the dynamical system, based on a polynomial control on the Lebesgue measure of the tail of return times. Finally, we present an example of a dynamical system defined on the torus and prove that it verifies the properties of the Gibbs-Markov-Young structure that we considered.

研究动机与目标

• 将相关性衰减与大偏差理论扩展至具有多项式混合速率的非一致双曲微分同胚。
• 分析弱双曲性系统，特别是稳定叶上的多项式收缩与不稳定叶上的多项式反向收缩。
• 建立返回时间尾部行为与统计性质（如相关性衰减与大偏差）之间的联系。
• 为具有非指数混合的系统提供一个通用框架——Gibbs-Markov-Young结构，并给出一个在环面上的新例子。
• 将基于指数返回时间尾部的先前结果推广至多项式情形，扩大其在非一致双曲系统中的适用范围。

提出的方法

• 在参考集Λ上定义Gibbs-Markov-Young结构，其中具有双曲积结构和可数马尔可夫划分。
• 假设稳定叶上具有多项式收缩，不稳定叶上具有多项式反向收缩，具有有界扭曲性，且稳定叶状结构具有正则性。
• 使用Young塔构造与商塔构造来建模系统的返回动力学，并将返回时间尾部分布衰减与统计性质关联起来。
• 通过返回时间函数及其尾部分布，建立不变测度之间的耦合论证。
• 应用涉及返回时间分布的不等式，并利用参数ρ > ζ + 1来控制相关性的衰减速率。
• 证明：若返回时间尾部满足P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1}，则相关性衰减被控制在C′/n^{ζ−1}以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 对返回时间尾部的多项式控制如何影响非一致双曲微分同胚的相关性衰减？
• RQ2 在多项式返回时间尾部分布假设下，大偏差是否可被控制，其衰减速率如何？
• RQ3 在具有弱双曲性的动力系统中，存在Gibbs-Markov-Young结构的条件是什么？
• RQ4 有界扭曲性与稳定叶状结构的正则性如何促进系统的统计控制？
• RQ5 能否在环面上构造一个满足所需多项式尾部与结构条件的具体例子？

主要发现

• 当返回时间尾部满足P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1}时，SRB测度的相关性衰减被控制在C′/n^{ζ−1}以内。
• 大偏差以多项式方式受控，其衰减速率取决于返回时间函数的相同尾部分布行为。
• 证明依赖于利用返回时间结构与商塔构造，对不变测度之间进行耦合论证。
• 衰减界中的常数C′依赖于初始尾部常数C以及扭曲常数D_φ与D_φ′。
• 构造了一个新的环面上例子，满足所有要求的性质：弱双曲性、有界扭曲性、正则稳定叶状结构以及多项式返回时间尾部。
• 该框架将先前从指数衰减推广至多项式衰减，扩展了在混合速率更慢的系统中的适用性。