[论文解读] Statistics of the Work in Quantum Quenches, Universality and the Critical Casimir Effect

Andrea Gambassi, Alessandro Silva|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文建立了量子淬火中的功统计与经典系统中临界卡西米尔效应之间的映射，揭示了在量子临界点附近功分布 $ P(W) $ 的普遍标度行为。通过将功的特征函数解析延拓至虚时，作者将 $ P(W) $ 与一个经典薄膜的配分函数联系起来，表明边缘奇点和阈值行为由普遍的临界卡西米尔自由能所支配。

ABSTRACT

We consider the dynamics of an isolated quantum many-body system after a sudden change of one control parameter, focusing on the statistics of the work done. We establish a connection between the generating function of the distribution of the work and the partition function of a classical system in a film geometry. Using this connection, we first show that the scaling of the fidelity susceptibilities close to a quantum phase transition can be understood in terms of the critical behavior of the excess entropy and specific heat in the classical model. Remarkably, we show that the statistics of the work close to the threshold and to criticality is connected to the so-called critical Casimir free energy which is responsible for the interaction between the boundaries of the classical system. On the basis of this relation, we highlight the emerging universal features of the statistics of the work. Our findings are exemplified for a global quench of the transverse Ising chain at zero temperature.

研究动机与目标

• 理解孤立多体系统中量子淬火时功统计的普遍性如何涌现。
• 识别功特征函数与薄膜几何中经典系统配分函数之间的联系。
• 证明 $ P(W) $ 的边缘奇点和阈值行为由普遍的临界卡西米尔自由能所支配。
• 表明在量子临界点附近保真度敏感度的标度行为源于经典模型中的临界行为。
• 提供一个利用经典临界现象分析量子系统非平衡动力学的普遍框架。

提出的方法

• 通过解析延拓 $ t \to -iR $，将功分布的特征函数 $ G(t) = \braket{\tilde{\rho}_i | e^{iH_i t} e^{-iH_f t} | \tilde{\rho}_i} $ 映射到经典配分函数，得到 $ G(R) = e^{-\triangle E_0 R} Z(R) $。
• 将 $ Z(R) $ 识别为在厚度为 $ R $ 的条带上的 $ d+1 $ 维经典系统配分函数，其边界态对应于初始量子态。
• 将自由能 $ -\text{ln}\thinspace G(R) $ 分解为体、表面和临界卡西米尔贡献：$ f_{\text{tot}} = R f_b + 2f_s + f_c(R) $，其中 $ f_c(R) $ 为临界卡西米尔自由能。
• 利用 $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ 的渐近形式，推导出 $ P(W) $ 中的普遍边缘奇点，其中 $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ 当 $ R \to \rho_+ $。
• 应用共形场论和对偶性计算淬火至或穿过临界点时的 $ F(x) $，其中 $ x = R/\rho_+ $，并通过逆傅里叶变换提取 $ P(W) $。
• 推导出 $ P(W) $ 在阈值附近及双粒子连续谱中的显式表达式，包括由于散射振幅中运动学极点而产生的在 $ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ 处的狄拉克函数峰，其间距为 $ \frac{1}{L} $，源于有限尺寸效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子淬火中功的统计如何与经典系统中的临界卡西米尔效应相关联？
• RQ2 在量子临界点附近，功分布 $ P(W) $ 中涌现出哪些普遍特征？
• RQ3 $ P(W) $ 的边缘奇点如何依赖于淬火的初始和最终参数？
• RQ4 能否通过经典临界行为来理解量子相变附近保真度敏感度的标度行为？
• RQ5 边界条件和对偶性在决定 $ P(W) $ 的普遍形式中起什么作用？

主要发现

• 功分布的特征函数 $ G(t) $ 通过解析延拓 $ t \to -iR $ 映射到薄膜几何中经典系统的配分函数，将量子淬火动力学与经典临界现象联系起来。
• 临界卡西米尔自由能 $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ 支配了 $ P(W) $ 中的普遍边缘奇点，其中 $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ 当 $ R \to \rho_+ $，导致分布中出现普遍的 $ \rho_{-}^{2} \times \frac{1}{\rho} $ 标度行为。
• 对于淬火至量子临界点（$ g_f = 1 $）的情况，功分布表现出标度函数 $ F(x=0) = -\frac{\rho_+}{48} $，与共形场论预测一致。
• 对于淬火穿过临界点且 $ m_f \to 0 $ 的情况，分布表现出非解析行为 $ F(x) \to -\rho_+ x e^{-x} + \frac{2}{\rho_+} x^{3/2} e^{-2x} + \text{...} $，反映了在 $ T > T_c $ 时的临界卡西米尔效应（边界条件为 $ (+,+) $）或在 $ T < T_c $ 时的临界卡西米尔效应（边界条件为 $ (O,O) $）。
• 功分布 $ P(W) $ 在 $ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ 处具有普遍的狄拉克函数峰，源于散射振幅中的非微扰运动学极点，其间距为 $ \frac{1}{L} $，由有限尺寸效应引起。
• 在 $ 2m_f $ 处的边缘奇点在热力学极限下不可积，但在 $ w - 2m_f \to \frac{1}{L} $ 处被截断，与双粒子能级间距 $ \frac{1}{L} $ 一致。