[论文解读] Steady solutions of the Navier-Stokes equations in the plane

Julien Guillod|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文研究二维无界区域中稳态、不可压缩的纳维-斯托克斯流，通过证明非线性效应允许在净力非零时仍存在无穷远处速度为零的解，从而解决了经典的斯托克斯佯谬。它建立了非零净力的正式渐近展开，预测尾迹衰减为 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$，并通过数值方法验证，且表明解可渐近趋近于双尾迹或调和解，揭示了非线性斯托克斯理论之外更丰富的远场行为。

ABSTRACT

This study is devoted to the incompressible and stationary Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains. First, the main results on the construction of the weak solutions and on their asymptotic behavior are reviewed and structured so that all the cases can be treated in one concise way. Most of the open problems are linked with the case of a vanishing velocity field at infinity and this will be the main subject of the remainder of this study. The linearization of the Navier-Stokes around the zero solution leads to the Stokes equations which are ill-posed in two dimensions. It is the well-known Stokes paradox which states that if the net force is nonzero, the solution of the Stokes equations will grow at infinity. By studying the link between the Stokes and Navier-Stokes equations, it is proven that even if the net force vanishes, the velocity and pressure fields of the Navier-Stokes equations cannot be asymptotic to those of the Stokes equations. However, the velocity field can be in some cases asymptotic to two exact solutions of the Stokes equations which also solve the Navier-Stokes equations. Finally, a formal asymptotic expansion at infinity for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations having a nonzero net force is established based physical arguments. The leading term of the velocity field in this expansion decays like $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ and exhibits a wake behavior. Numerical simulations are performed to validate this asymptotic expansion when is net force is nonzero and to analyze the asymptotic behavior in the case where the net force is vanishing. This indicates that the Navier-Stokes equations admit solutions whose velocity field goes to zero at infinity in contrast to the Stokes linearization and moreover this shows that the set of possible asymptotes is very rich.

研究动机与目标

• 解决二维稳态纳维-斯托克斯流中的斯托克斯佯谬，其中线性化斯托克斯解因在无穷远处无界增长而失效。
• 表征净力为零或非零时稳态纳维-斯托克斯解的渐近行为，特别是速度是否可在无穷远处衰减至零。
• 为具有非零净力的解建立正式渐近展开，预测类似尾迹的衰减行为。
• 通过数值方法验证预测的渐近衰减速率，并探索高雷诺数下多条尾迹的出现。
• 证明纳维-斯托克斯解可能的远场渐近行为集合，比线性斯托克斯方程更为丰富。

提出的方法

• 综述并统一无界二维区域中弱解及其渐近行为的现有成果。
• 分析斯托克斯方程与纳维-斯托克斯方程之间的联系，表明即使净力为零，纳维-斯托克斯解也无法渐近匹配斯托克斯解。
• 利用物理论证推导非零净力的正式渐近展开，识别出尾迹中主导衰减为 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$。
• 通过使用近似狄拉克函数的源项，进行带有人工边界条件的数值模拟，以检验渐近预测。
• 采用对称性破缺的网格划分，观察多条尾迹的出现，并分析远场中其衰减速率。
• 对大区域（$10^2 \leq r \leq 8 \times 10^3$）内的数值速度幅值进行拟合，以提取幂律衰减指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维无界区域中，当净力非零时，稳态纳维-斯托克斯解是否可表现出无穷远处速度为零的行为，从而与斯托克斯佯谬相悖？
• RQ2 对于具有非零净力的稳态纳维-斯托克斯流，速度场的正确渐近行为是什么？
• RQ3 在数值解中，多条尾迹如何出现？它们在远距离处表现出何种衰减速率？
• RQ4 当净力为零时，解是否可渐近趋近于欧拉方程的精确解或调和场？
• RQ5 决定渐近区域中尾迹数量的因素是什么——雷诺数还是源配置？

主要发现

• 对于非零净力，速度场的主导渐近行为在尾迹区域内衰减为 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$，在尾迹区域外衰减为 $|\boldsymbol{x}|^{-2/3}$，与物理猜想一致。
• 数值模拟验证了在高振幅 $\mathcal{A}$ 下，$n=1,2,3,4$ 个源配置时，尾迹区域内的 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ 衰减。
• 在低 $\mathcal{A}$ 时，解最初按斯托克斯解的规律衰减（$r^{-1}$ 或 $r^{-2}$），但随着 $\mathcal{A}$ 增大，逐渐过渡为 $r^{-1/3}$ 衰减。
• 对于 $n=4$，对称性破缺导致在高 $\mathcal{A}$ 下出现四条独立的尾迹，表明多条尾迹仅在高雷诺数下出现。
• 净力为零的解可渐近趋近于双尾迹解 ${\boldsymbol{U}\!}_{\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{U}\!}_{-\boldsymbol{F}}$ 或调和解 $\mu \boldsymbol{e}_{\theta}/r$，两者均以超临界速率 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ 衰减。
• 纳维-斯托克斯方程的非线性性使得即使净力非零，解仍可衰减至无穷远处为零，从而在非线性层面上解决了斯托克斯佯谬。