[论文解读] Steady-state GI/GI/n Queue in the Halfin-Whitt Regime

David Gamarnik, David A. Goldberg|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 8

一句话总结

该论文在温和条件下，建立了 FCFS GI/GI/n 队列在 Halfin-Whitt 重交通 regime 下归一化稳态队列长度分布的紧致性。它推导了极限稳态队列长度尾部大偏差指数的匹配上下界，其中下界特别针对泊松到达过程，使用了收敛到高斯过程的新型结构性界。

ABSTRACT

We consider the FCFS $GI/GI/n$ queue in the so-called Halfin-Whitt heavy traffic regime. We prove that under minor technical conditions the associated sequence of steady-state queue length distributions, normalized by $n^(1/2)$, is tight. We derive an upper bound on the large deviation exponent of the limiting steady-state queue length matching that conjectured by Gamarnik and Momcilovic in \cite{GM.08}. We also prove a matching lower bound when the arrival process is Poisson. Our main proof technique is the derivation of new and simple bounds for the FCFS $GI/GI/n$ queue. Our bounds are of a structural nature, hold for all $n$ and all times $t \geq 0$, and have intuitive closed-form representations as the suprema of certain natural processes which converge weakly to Gaussian processes. We further illustrate the utility of this methodology by deriving the first non-trivial bounds for the diffusion process studied in \cite{R.09}.

研究动机与目标

• 在 Halfin-Whitt 重交通 regime 下，建立 GI/GI/n 队列归一化稳态队列长度分布的紧致性。
• 推导极限稳态队列长度大偏差指数的上界，与 Gamarnik 和 Momcilovic 的猜想相匹配。
• 当到达过程为泊松过程时，证明大偏差指数的匹配下界。
• 为 FCFS GI/GI/n 队列开发适用于所有 n 和所有 t ≥ 0 的新型结构性界。
• 通过推导 Ramanan (2009) 中扩散过程的非平凡界，展示这些界的应用价值。

提出的方法

• 推导适用于所有 n 和所有 t ≥ 0 的 FCFS GI/GI/n 队列的新、简洁的界，这些界具有良好的结构性。
• 将这些界表示为自然过程的上确界，这些过程弱收敛到高斯过程。
• 利用这些过程的弱收敛性，分析队列长度分布的渐近行为。
• 应用这些界，建立归一化稳态队列长度序列的紧致性。
• 采用大偏差技术，推导极限队列长度尾部指数的上下界。
• 将该方法扩展，以推导 Ramanan (2009) 中扩散过程的非平凡界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在温和技术条件下，Halfin-Whitt regime 下归一化稳态队列长度分布序列是否具有紧致性？
• RQ2 能否推导出极限稳态队列长度大偏差指数的上界，使其与 Gamarnik 和 Momcilovic 的猜想相匹配？
• RQ3 当到达过程为泊松过程时，是否存在与之匹配的大偏差指数下界？
• RQ4 能否为 GI/GI/n 队列开发适用于所有 n 和 t ≥ 0 且弱收敛到高斯过程的结构性界？
• RQ5 所提出的界方法能否扩展，以获得 Ramanan (2009) 中扩散过程的非平凡界？

主要发现

• 在 Halfin-Whitt regime 下，于温和技术条件下，将稳态队列长度分布按 n^(1/2) 归一化后，其序列具有紧致性。
• 推导出极限稳态队列长度大偏差指数的上界，与 Gamarnik 和 Momcilovic 的猜想相匹配。
• 当到达过程为泊松过程时，建立了大偏差指数的匹配下界。
• 所提出的界具有结构性，适用于所有 n 和所有 t ≥ 0，且表示为弱收敛到高斯过程的上确界。
• 该方法首次为 Ramanan (2009) 中研究的扩散过程提供了非平凡界。
• 这些界直观且为闭式表达，为分析 FCFS GI/GI/n 队列在重交通下的行为提供了新的分析框架。