[论文解读] Steady state large deviations for one-dimensional, symmetric exclusion processes in weak contact with reservoirs

Angèle Bouley, Clément Erignoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文推导出在一维对称排除过程中，弱边界热浴下稳态大偏离的最优轨迹所满足的偏微分方程。它建立了通过矩阵乘积试探法（Derrida 等人）导出的拟势与基于动力学大偏离泛函的变分公式之间的等价性，为具有罗宾边界条件的非平衡稳态提供了基于 PDE 的严格拟势表征。

ABSTRACT

Consider the symmetric exclusion process evolving on an interval and weakly interacting at the end-points with reservoirs. Denote by $I_{[0,T]} (\cdot)$ its dynamical large deviations functional and by $V(\cdot)$ the associated quasi-potential, defined as $V(γ) = \inf_{T>0} \inf_u I_{[0,T]} (u)$, where the infimum is carried over all trajectories $u$ such that $u(0) = \barρ$, $u(T) = γ$, and $\barρ$ is the stationary density profile. We derive the partial differential equation which describes the evolution of the optimal trajectory, and deduce from this result the formula obtained by Derrida, Hirschberg and Sadhu \cite{DHS2021} for the quasi-potential through the representation of the steady state as a product of matrices.

研究动机与目标

• 表征在一维对称排除过程中，弱耦合热浴下的非平衡稳态的拟势。
• 推导出控制从稳态密度分布到给定密度分布的最小化大偏离率泛函的最优路径的偏微分方程。
• 通过动力学大偏离的变分公式，严格连接稳态的矩阵乘积态表示（Derrida, Hirschberg, Sadhu）与拟势的变分公式。
• 在弱热浴耦合条件下，建立具有罗宾边界条件的流体动力学方程弱解的存在性、唯一性与正则性。

提出的方法

• 将动力学大偏离泛函 $ I_{[0,T]}(u) $ 表述为光滑测试函数上的时间积分上确界，采用包含边界贡献的哈密顿形式。
• 推导出包含体项与边界项的哈密顿量 $ \mathscr{H}(\gamma, F) $，其中迁移率 $ \sigma(\gamma) = \gamma(1-\gamma) $，边界泛函为 $ \mathfrak{b}_{\varrho,D} $。
• 将最优轨迹 $ u(t,x) $ 识别为由率泛函变分原理导出的哈密顿-雅可比-贝尔曼 PDE 的解。
• 通过伽辽金逼近与能量估计，建立具有罗宾边界条件的流体动力学方程（1.1）弱解的存在性与唯一性。
• 利用谱理论与半群方法分析演化算子 $ P_t^{(R)} $，证明其在 $ L^\infty $ 与 $ C^2 $ 范数下的压缩性与收敛性。
• 通过验证最优路径满足所推导的 PDE 与边界条件，证实了矩阵乘积试探法结果与变分拟势之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称排除过程在弱热浴下，其稳态的拟势如何与动力学大偏离泛函相关联？
• RQ2 在弱热浴耦合条件下，连接稳态密度分布与给定涨落分布的最优轨迹由何种 PDE 控制？
• RQ3 能否从大偏离率泛函的变分公式严格推导出稳态的矩阵乘积态表示？
• RQ4 罗宾边界条件如何在弱热浴下排除过程的流体动力学极限中出现？其在拟势中起何作用？
• RQ5 具有弱边界耦合的流体动力学方程的解具有何种正则性与收敛性性质？

主要发现

• 从稳态分布出发的大偏离最优轨迹满足由率泛函变分原理导出的哈密顿-雅可比-贝尔曼 PDE。
• 拟势 $ V(\gamma) $ 由从稳态分布 $ \bar{\rho} $ 到 $ \gamma $ 的所有路径中动力学率泛函的下确界给出，且该下确界由所推导 PDE 的解实现。
• 稳态密度分布 $ \bar{\rho}(x) $ 显式计算为 $ x=-A $ 与 $ x=1+B $ 处有效热浴密度之间的线性插值，表达式为 $ \bar{\rho}(x) = \frac{\alpha(1+B) + \beta A}{1+A+B} + \frac{(\beta - \alpha)x}{1+A+B} $。
• 具有罗宾边界条件的流体动力学方程的解存在、唯一，且对 $ t > 0 $ 属于 $ C^2([0,1]) $，逼近序列一致收敛。
• 演化算子 $ P_t^{(R)} $ 在 $ L^\infty([0,1]) $ 中为压缩算子，确保在初始分布扰动下解的稳定性和收敛性。
• 矩阵乘积试探法所得的拟势结果被严格恢复为变分问题的解，证实了随机模型与流体动力学模型之间表述的等价性。