[论文解读] Steady viscous flows in an annulus between two cylinders produced by vibrations of the inner cylinder

Konstantin Ilin, Muhammad Sadiq|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究了由内圆柱小振幅横向振动引起的两同心圆柱之间环形区域内的稳态粘性流动。利用Vishik-Lyusternik方法，该文构建了平均流函数的统一有效渐近展开，精度达$O(\alpha^{3/2})$，适用于量级为1的雷诺数，填补了先前工作中因缺少$O(\alpha^{3/2})$项而留下的空白，并阐明了斯托克斯漂移在欧拉系与拉格朗日系之间转换中的作用。

ABSTRACT

We study the steady streaming between two infinitely long circular cylinders produced by small amplitude transverse vibrations of the inner cylinder about the axis of the outer cylinder. The Vishik-Lyusternik method is employed to construct an asymptotic expansion of the solution of the Navier-Stokes equations in the limit of high-frequency vibrations for Reynolds numbers of order of unity. The effect of the Stokes drift of fluid particles is also studied. It is shown that it is nonzero not only within the boundary layers but also in higher order terms of the expansion of the averaged outer flow.

研究动机与目标

• 解决在两圆柱之间稳态驻波流的平均流函数渐近展开中缺失的$O(\alpha^{3/2})$项问题。
• 阐明在高频振荡背景下，欧拉速度场与拉格朗日速度场之间的关系，以及参考系依赖性问题。
• 研究斯托克斯漂移对平均流的影响，特别是其在边界层之外外流区域中的非零贡献。
• 通过证明将无滑移边界条件从振动内圆柱转移到其平均位置的合理性，验证固定边界形式的适用性。
• 解决先前渐近处理中使用时间依赖坐标变换所导致的不一致问题，特别是对稳态流物理解释的影响。

提出的方法

• 应用Vishik-Lyusternik方法，对高频率振动极限下的纳维-斯托克斯方程进行正则渐近展开。
• 引入小参数$\epsilon = \alpha^{1/2}$，将解按$\epsilon$的幂级数展开至$O(\epsilon^3)$，对应于$O(\alpha^{3/2})$阶。
• 通过在振动圆柱平均位置处进行泰勒展开，将移动边界问题转化为固定边界问题。
• 通过组合内层（边界层）解与外层（主流）解，构建复合展开，确保其在整个区域内的统一有效性。
• 通过比较平均欧拉速度与平均拉格朗日速度（粒子轨迹速度），引入斯托克斯漂移效应。
• 以先前工作[12]中的共形映射方法为基础，随后进行逆变换回到物理坐标系，并通过泰勒展开恢复物理流场。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在先前对两圆柱间稳态驻波流的渐近处理中，平均流函数展开的$O(\alpha^{3/2})$项被遗漏？
• RQ2 斯托克斯漂移如何影响边界层之外外流区域的平均流？
• RQ3 在运动参考系中推导的稳态驻波流解是否与在固定实验参考系中的解等价？
• RQ4 当$\nu = O(1)$时，能否严格地将振动圆柱上的无滑移边界条件转移到其平均位置处的固定圆柱上？
• RQ5 先前研究中使用的时间依赖坐标变换对稳态流的物理解释有何影响？

主要发现

• $O(\alpha^{3/2})$阶在平均流函数展开中非零，必须包含该阶项才能完整描述外流区域，解决了早期研究中的遗漏问题。
• 斯托克斯漂移不仅在边界层内存在，在外流区域中也非零，对平均拉格朗日速度场有贡献。
• 从运动参考系到固定参考系的变换不保持欧拉速度的稳态分量，凸显了解的参考系依赖性。
• 当$\nu = O(1)$时，将边界条件从振动圆柱转移到其平均位置是合理的，因为边界层厚度$O(\epsilon)$大于圆柱位移$O(\epsilon^2)$。
• 本研究推导的渐近解与实验参考系中观测到的物理流场一致，而先前使用时间依赖坐标但未进行逆变换的方法则不一致。
• 当$\nu = 0.4$，$\epsilon = 0.048$，$R = 1.7$时，数值流线显示外流区域呈现射流状结构，与高$Re_s$稳态驻波流行为一致。