[论文解读] Steering, Entanglement, Nonlocality, and the EPR Paradox

Howard M. Wiseman, S. J. Jones+1 more|CERN Bulletin|Dec 18, 2006

Quantum Information and Cryptography被引用 11

一句话总结

本文首次提出了量子导引的严格操作性定义，将其确立为介于纠缠与贝尔非定域性之间的独立非定域资源。证明了可导引态是纠缠态的真子集，也是贝尔非定域态的真超集，并推导出用于判断高斯态导引性的线性矩阵不等式（LMI），将其与原始的EPR佯谬联系起来。

ABSTRACT

The concept of steering was introduced by Schrodinger in 1935 as a generalization of the EPR paradox for arbitrary pure bipartite entangled states and arbitrary measurements by one party. Until now, it has never been rigorously defined, so it has not been known (for example) what mixed states are steerable (that is, can be used to exhibit steering). We provide an operational definition, from which we prove (by considering Werner states and Isotropic states) that steerable states are a strict subset of the entangled states, and a strict superset of the states that can exhibit Bell-nonlocality. For arbitrary bipartite Gaussian states we derive a linear matrix inequality that decides the question of steerability via Gaussian measurements, and we relate this to the original EPR paradox.

研究动机与目标

• 基于任务框架，提供量子导引的严格、操作性定义，解决该概念长期存在的模糊性。
• 通过建立这些量子非定域资源之间的严格层级关系，澄清导引、纠缠与贝尔非定域性之间的关系。
• 确定混合量子态（特别是Werner态与各向同性态）表现出导引性的条件。
• 通过高斯测量推导任意双粒子高斯态导引性的判据，将其与EPR佯谬联系起来。
• 探讨导引在量子信息中的基础与实际意义，包括在量子测量与协议中的潜在应用。

提出的方法

• 将导引操作性地定义为：Alice试图仅通过经典通信和她对测量的选择，向信任量子力学但不信任她的Bob证明共享态是纠缠的，从而实现一种任务。
• 将导引性条件数学化为：无法用局域隐态（LHS）模型描述Bob的条件态集合。
• 使用正算子值测度（POVMs）和高斯态的凸组合形式，刻画非导引态的集合。
• 推导高斯态的线性矩阵不等式（LMI）条件：当且仅当 $ V_{eta} + i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} $ 为半正定矩阵时，该态不被高斯测量导引，或更精确地 $ V_{eta} + oldsymbol{0}_eta igoplus i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} $ 为半正定矩阵，该条件推广了EPR判据。
• 通过计算条件态保真度并对比由调和级数和最优测量策略导出的界限，将该方法应用于两比特Werner态与各向同性态。
• 利用矩阵求逆恒等式与辛几何分析高斯态协方差矩阵的结构，推导出导引性的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有纠缠态是否都能用于展示导引？是否存在无法导引的纠缠态？
• RQ2 导引性是否严格弱于贝尔非定域性？如果是，能否在不违反贝尔不等式的态上实现？
• RQ3 在高斯测量下，连续变量高斯态导引性的精确数学判据是什么？
• RQ4 EPR佯谬如何与导引的广义概念关联？能否作为导引的一个特例恢复？
• RQ5 是否存在可导引但非贝尔非定域的量子态？若是，其结构与物理意义为何？

主要发现

• 导引是一种独立的非定域资源：可导引态是纠缠态的真子集，也是贝尔非定域态的真超集。
• 对于两比特Werner态，当 $ heta > heta_{ ext{steer}} $ 时发生导引，其中 $ heta_{ ext{steer}} $ 由涉及希尔伯特-施密特范数的超越方程的解确定。
• 对于各向同性态，导引性的阈值为 $ heta_{ ext{steer}} = rac{H_d - 1}{d - 1} $，其中 $ H_d $ 为第 $ d $ 个调和数，且该界限可通过最优测量策略达到。
• EPR佯谬作为导引的一个特例被恢复：条件方差乘积 $ V(q|q) V(p|p) < 1 $ 的违反，恰好对应于高斯态非导引性LMI条件的违反。
• 对于高斯态，通过高斯测量的导引性由LMI $ V_{eta} + oldsymbol{0}_eta igoplus i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} ot ightarrow ext{半正定矩阵} $ 决定，该条件等价于EPR判据。
• 本文确立了导引性不具有对称性：存在不对称态，其中Alice可导引Bob，但Bob无法导引Alice，表明该资源具有方向性。