[论文解读] Stein 4-manifolds and corks

Selman Akbulut, Kouichi Yasui|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文提出了一种利用紧致 Stein 4-流形及其嵌入到具有非零 Seiberg-Witten 不变量的闭合辛 4-流形中的性质，构造 4-流形中胶塞的新方法。通过应用纽结手术和有理性爆破技术，作者证明了任意 Mazur 型胶塞均可在单个单连通 4-流形上诱导出无限多个微分同胚结构，且多个胶塞可互不相交地嵌入，从而生成有限个不同的微分同胚结构。

ABSTRACT

It is known that every compact Stein 4-manifolds can be embedded into a simply connected, minimal, closed, symplectic 4-manifold. By using this property, we discuss a new method of constructing corks. This method generates a large class of new corks including all the previously known ones. We prove that every one of these corks can knot infinitely many different ways in a closed smooth manifold, by showing that cork twisting along them gives different exotic smooth structures. We also give an example of infinitely many disjoint embeddings of a fixed cork into a non-compact 4-manifold which produce infinitely many exotic smooth structures. Furthermore, we construct arbitrary many simply connected compact codimension zero submanifolds of S^4 which are mutually homeomorphic but not diffeomorphic.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，利用紧致 Stein 4-流形的嵌入性质在 4-流形中构造胶塞。
• 证明任意 Mazur 型胶塞均可在固定闭合 4-流形上生成无限多个相互微分不同结构。
• 在 4-流形中构造多个互不相交嵌入的胶塞，使得不同的胶塞扭转产生相互微分不同的异样微分结构。
• 证明一个固定的紧致收缩 Stein 4-流形可以以无限多个非同伦等价的方式嵌入闭合 4-流形中，每种方式均产生不同的微分结构。
• 将构造方法扩展至非紧致 4-流形，通过互不相交的胶塞嵌入产生无限多个异样微分结构。

提出的方法

• 利用每个紧致 Stein 4-流形均可嵌入到一个单连通、极小、闭合、辛 4-流形中且满足 $b_2^+ > 1$ 的嵌入定理。
• 在具有边界的紧致 Stein 4-流形中构造候选胶塞，必要时经过爆破操作。
• 应用 Fintushel-Stern 的纽结手术与有理性爆破技术，修改周围辛 4-流形，并检测 Seiberg-Witten 不变量的变化。
• 将 Seiberg-Witten 不变量的变化与胶塞扭转关联，证明不同对合作用于同一胶塞时会产生不同的微分结构。
• 利用同调类中嵌入曲面的亏格来区分不同家族 4-流形之间的微分结构。
• 通过边界和与胶塞扭转构造 4-流形族 $X_n$，确保表示曲面的亏格约束可区分其微分类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致 Stein 4-流形是否都能嵌入到一个闭合、单连通、极小、辛 4-流形中，且满足 $b_2^+ > 1$？
• RQ2 一个固定的 Mazur 型胶塞是否能在一个闭合 4-流形上生成无限多个相互微分不同的光滑结构？
• RQ3 是否可以将多个胶塞互不相交地嵌入到单个 4-流形中，使得不同的胶塞扭转产生不同的异样光滑结构？
• RQ4 一个固定的紧致收缩 Stein 4-流形是否能以无限多个非同伦等价的方式嵌入闭合 4-流形中，每种方式均产生不同的光滑结构？
• RQ5 一个固定的胶塞是否能以无限多个非同伦等价的方式嵌入非紧致 4-流形中，从而产生无限多个异样光滑结构？

主要发现

• 每个具有边界的紧致 Stein 4-流形均可嵌入到一个单连通、极小、闭合、辛 4-流形中，且满足 $b_2^+ > 1$，从而为新构造框架提供了基础。
• 对于任意 Mazur 型胶塞 $(C, au)$，存在无限多个单连通闭合 4-流形 $X_n$，它们彼此同胚但不同胚，且 $X_n$ 由 $X_0$ 沿 $(C, au)$ 的胶塞扭转得到。
• 存在无限多个将固定胶塞互不相交地嵌入非紧致 4-流形的方式，使得对应的胶塞扭转产生无限多个异样微分结构。
• 对每个 $n \geq 1$，存在 $n+1$ 个彼此同胚但不同胚的单连通闭合 4-流形 $X_i$，它们由 $X_0$ 中互不相交嵌入的胶塞 $(C_i, au_i)$ 的不同胶塞扭转得到。
• 一个固定的紧致收缩 Stein 4-流形 $C$ 可以以无限多个非同伦等价的方式嵌入闭合 4-流形中，每种方式通过胶塞扭转均产生不同的微分结构。
• 表示 $H_2(X_n; \mathbb{Z})$ 中同调类的曲面的亏格是一个微分不变量：若 $n$ 与 $m$ 之间 $H_2(N_{n+1}; \mathbb{Z})$ 的生成元所代表的曲面的最小亏格不同，则 $X_n$ 与 $X_m$ 不可能微分同胚。