[论文解读] Stein's method for dynamical systems

Olli Hella, Juho Leppänen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文将 Stein 方法应用于动力系统，为离散与连续时间系统提供了可计算收敛速率的多变量中心极限定理。通过利用相关性衰减并避免特征函数方法，采用直接方法建立了 Berry–Esséen 型界，其收敛速率的计算仅需在证明中心极限定理的基础上额外付出最小工作量。

ABSTRACT

We present an adaptation of Stein's method of normal approximation to the study of both discrete- and continuous-time dynamical systems. We obtain new correlation-decay conditions on dynamical systems for a multivariate central limit theorem augmented by a rate of convergence. We then present a scheme for checking these conditions in actual examples. The principal contribution of our paper is the method, which yields a convergence rate essentially with the same amount of work as the central limit theorem, together with a multiplicative constant that can be computed directly from the assumptions.

研究动机与目标

• 将 Stein 的正态近似方法推广至离散与连续时间动力系统。
• 为保测度系统的可观测量推导出具有可计算收敛速率的多变量中心极限定理。
• 提出一种系统性方案，用于在具体动力系统中验证相关性衰减条件。
• 证明该方法在与仅证明中心极限定理相同的工作量下，即可获得收敛速率。
• 使方法适用于非平稳设定与拟静态系统，突破传统 i.i.d. 或平稳性假设的限制。

提出的方法

• 通过用相关性衰减分析替代特征函数技术，将 Stein 方法适配于动力系统。
• 采用基于耦合的辅助随机化方法，但通过双曲系统中的结构刚性绕过该方法。
• 通过测试函数的分解及对可观测量参数族的积分，控制误差项。
• 应用马尔可夫不等式和返回时间的 $L^1$-界，处理耦合构造中分母过小的问题。
• 利用由混合性质导出的衰减率 $\theta^k$（其中 $\theta < 1$）推导显式界。
• 引入参数化测度族 $\nu_q$ 和划分 $\mathcal{Q}$，以实现误差贡献的局部化与控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Stein 方法适配于动力系统，以提供多变量中心极限定理的收敛速率？
• RQ2 如何表述并验证相关性衰减条件，以确保具有显式误差界的正态近似？
• RQ3 与经典方法相比，使用 Stein 方法获得收敛速率所需的最小工作量是多少？
• RQ4 该方法能否扩展至不存在共同不变测度的非平稳或拟静态动力系统？
• RQ5 与 Rio 或 Pène 的方法相比，该方法在高维系统中的灵活性与适用性如何？

主要发现

• 该方法为动力系统的多变量中心极限定理提供了 Berry–Esséen 型界，收敛速率阶为 $O(\theta^{K/4})$，其中 $\theta < 1$ 是由混合性质导出的衰减率。
• 收敛速率的获得与证明中心极限定理所需的工作量相当，且乘性常数可直接从假设中计算得出。
• 该界显式依赖于维度 $d$、可观测量 $f$ 的 $L^\infty$-范数、测试函数 $B$ 的利普希茨范数，以及衰减参数 $\vartheta, \vartheta_0, \vartheta_1$。
• 该方法避免使用特征函数，转而依赖相关性衰减，从而可应用于具有强混合行为的确定性系统。
• 一项关键技术创新是引入参数化测度族与局部化论证，以控制由小返回时间引起的奇点。
• 最终界的形式为 $\left| \int f^n \cdot B(W^n) \, d\mu \right| \leq M \left( dH\|B\|_{\infty} + d\|f\|_{\infty}\|B\|_{\infty} + \frac{d^2\|f\|_{\infty}\|DB\|_{\infty}}{\sqrt{N}} \frac{H}{1-\vartheta} \right) \theta^{K/4} $，其中 $\theta = \max(\vartheta, \vartheta_0^2, \vartheta_1^4, e^{-1/c_0})$。