[论文解读] Stein's Method for Law of Large Numbers under Sublinear Expectations

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在非线性期望框架——子线性期望下，为大数定律建立了 Stein 方法框架，用于推导误差估计。通过构造 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的粘性解并使用光滑逼近，证明了利普希茨函数上确界的收敛速率为 $ O(n^{-1/2}) $，将经典 Stein 方法推广至子线性设定，并给出了依赖于随机变量二阶绝对矩的显式误差界。

ABSTRACT

Peng, S. (\cite{P08b}) proved the law of large numbers under a sublinear expectation. In this paper, we give its error estimates by Stein's method.

研究动机与目标

• 将 Stein 方法推广至子线性期望空间，以应对由于模型不确定性导致经典概率工具失效的情形。
• 为子线性期望下的 Peng 大数定律提供定量误差界。
• 建立经验均值向区间 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$ 上最大分布收敛的收敛速率。
• 在子线性设定中，为最大分布 $\mathcal{M}_p$ 构建一种 Stein 型刻画。

提出的方法

• 构造 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 $ \partial_t v - p(\partial_x v) = 0 $ 的粘性解 $ v(x,t) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(x + ty) $，其中 $ p(a) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} ya $。
• 定义时变函数 $ \phi_s(x) = v((1-s)x, s) $ 及其期望 $ w(s) = \mathcal{N}[\phi_s] $，导出几乎处处成立的微分恒等式 $ w'(s) = \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] $，其中 $ s \in (0,1) $。
• 利用 $ v_{n,\varepsilon} $ 对粘性解进行光滑逼近，以处理其缺乏正则性的问题，求解非齐次 PDE $ \partial_t v - p(\partial_x v) = f(x,t) $。
• 通过差值 $ \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) $ 的积分表示建立误差界，利用导数的 Hölder 半范数 $ [\partial_x v(\cdot, s)]_\alpha $ 与 $ X_1 $ 的矩。
• 应用恒等式 $ \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) - \mathcal{N}[\phi] = \int_0^1 \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] \, ds $ 推导收敛速率。
• 证明关键估计 $ \left| \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) \right| \leq C n^{-1/2} $，其中常数 $ C $ 依赖于 $ \hat{\mathbf{E}}[|X_1|^2] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Stein 方法适配于子线性期望下的大数定律误差估计？
• RQ2 在该非线性设定中，经验均值 $ S_n $ 到最大分布 $ \mathcal{M}_p $ 的收敛速率为何？
• RQ3 当 HJB 方程的解缺乏足够正则性时，如何构造合适的 Stein 方程或替代形式？
• RQ4 光滑逼近在连接子线性期望空间中粘性解与可测函数之间的差距中起何作用？
• RQ5 能否在子线性框架中为最大分布 $ \mathcal{M}_p $ 构建一种 Stein 型刻画？

主要发现

• 本文建立了子线性期望下大数定律的收敛速率 $ O(n^{-1/2}) $，常数仅依赖于 $ \hat{\mathbf{E}}[|X_1|^2] $。
• 对所有满足利普希茨范数不超过 1 的 $ \phi \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}) $，误差估计 $ \left| \hat{\mathbf{E}}[\phi(S_n)] - \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) \right| \leq C n^{-1/2} $ 成立。
• 该方法依赖于对 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程粘性解的光滑逼近，这些逼近是非齐次 PDE 的解。
• 关键恒等式 $ w'(s) = \frac{1}{1-s} \mu_s[p(\phi_s') - x\phi_s'] $ 通过有界 Hölder 半范数 $ \phi_s' $ 与 $ X_1 $ 的 $ (1+\alpha) $ 阶矩，实现了速率的推导。
• 提供了 Stein 型刻画：当且仅当对所有 $ \varphi \in C_b^1(\mathbb{R}) $ 与 $ \mu \in \Theta_\varphi $，有 $ \mathbb{E}_\mu[p(\varphi') - \xi \varphi'] = 0 $，则 $ \mathcal{N}[\phi] = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} \phi(y) $，其中 $ p(a) = \sup_{y \in [\underline{\mu}, \overline{\mu}]} ya $。
• 与先前结果如 $ \hat{\mathbf{E}}[d_{[\underline{\mu}, \overline{\mu}]}^2(S_n)] \leq \frac{2(\overline{\sigma}^2 + (\overline{\mu} - \underline{\mu})^2)}{n} $ 相比，本结果对利普希茨函数提供了更优的 $ O(n^{-1/2}) $ 收敛速率。