[论文解读] Stein's method for normal approximation in Wasserstein distances with application to the multivariate Central Limit Theorem

Thomas Bonis|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 32

一句话总结

论文发展了stein型界来量化Wasserstein距离的正态近似（阶数为2及以上），使用随机过程，在矩条件和对称性假设下为多变量中心极限定理提供最优收敛速率。

ABSTRACT

We use Stein's method to bound the Wasserstein distance of order $2$ between a measure $\ u$ and the Gaussian measure using a stochastic process $(X_t)_{t \\geq 0}$ such that $X_t$ is drawn from $\ u$ for any $t > 0$. If the stochastic process $(X_t)_{t \\geq 0}$ satisfies an additional exchangeability assumption, we show it can also be used to obtain bounds on Wasserstein distances of any order $p \\geq 1$. Using our results, we provide optimal convergence rates for the multi-dimensional Central Limit Theorem in terms of Wasserstein distances of any order $p \\geq 2$ under simple moment assumptions.

研究动机与目标

• 在多维情形下，动机并形式化衡量经验和的和分布与高斯分布之间的Wasserstein距离的问题。
• 发展一个利用随机过程的Stein算子框架来界定W2及更高阶Wasserstein距离。
• 在简单矩条件下推导多维中心极限定理的维度相关收敛速率。
• 将一维与多维结果扩展为Wp（p≥1）的界，并在某些情形下显示最优尺度。

提出的方法

• 引入一族与来自ν的过程(Xt)相关联的不变量算子Lν，用以与高斯发算子Lγ进行比较。
• 利用基于泰勒展开的Lν与Lγ分析，将偏差与Xt−X0的矩相关联。
• 通过该过程及一个辅助量S(t)来定义并界定Fisher信息I(νt)，对时间积分以界定W2。
• 给出显式界 W2(ν, γ) ≤ ∫0∞ e−t E[S(t)]1/2 dt，并将S(t)表示为Xt−X0的条件矩的函数。
• 推导一维Wp界（定理7）以及在可交换性假设下的多维Wp界（定理9）。
• 将这些界应用于CLT情形，得到依赖于和分量矩和维度的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Stein方法改编以在多变量情形下对和的分布与高斯分布之间的Wp（p≥1）距离进行界定？
• RQ2 哪些矩条件与可交换性条件足以在Wasserstein距离下为多变量中心极限定理获得明确的收敛速率？
• RQ3 一维与多维Wasserstein界的比较如何，在简单矩假设下的最优速率是多少？

主要发现

• 得到一般的W2界：W2(ν, γ) ≤ ∫0∞ e−t E[S(t)]1/2 dt，S(t)可计算，涉及Xt−X0的条件矩。
• 当独立X1,...,Xn在Rd且平方四阶矩有限时，W2(νn, γ) ≤ C d1/4 ||E[X1X1T] ||XS1/2 / √n（定理1）。
• 如果存在更高阶矩，Wp(νn, γ)具有随√n展开的界，附加项：Wp(νn, γ) ≤ Cp (d1/4 ||E[X1X1T] ||XS1/2 + E||X1||p+2)1/p / √n（定理1）。
• 在1D中，Wp(ν, γ)受包含Sp(t)的积分界限约束（定理7）。
• 在Rd中，在可交换性假设下（(X0, Xt) 的分布等于 (Xt, X0) 的分布），对Wp(ν, γ)有并行的界（定理9）。
• 这些结果回收并扩展了经典CLT速率，包括在某些情形下的最优尺度以及在较弱矩假设下的界（定理2、7、9、11）。