[论文解读] Stein's method for the half-normal distribution with applications to limit theorems related to simple random walk

Christian Döbler|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文为半正态分布发展了Stein方法，并将其应用于对称简单随机游走的三个泛函的分布极限定理中，推导出显式的 $ n^{-1/2} $ 收敛速率：最大值、返回原点的次数以及符号变化次数。通过使用Goldstein与Reinert最近提出的技术，将半正态分布的特征算子与离散近似分布进行比较，该方法在Kolmogorov与Wasserstein度量下均获得了最优误差界。

ABSTRACT

We develop Stein's method for the half-normal distribution and apply it to derive rates of convergence in distributional limit theorems for three statistics of symmetric, simple random walk: the maximum value, the number of returns to the origin and the number of sign changes up to a given time $n$. We obtain explicit error bounds with the optimal rate $n^{-1/2}$ for both, the Kolmogorov and the Wasserstein metric. In order to apply Stein's method, we compare the characterizing operator of the limiting half-normal distribution with suitable characterizations of the discrete approximating distributions, exploiting a recent technique by Goldstein and Reinert \cite{GolRei12}.

研究动机与目标

• 为此前未使用该技术处理过的半正态分布发展Stein方法。
• 为对称简单随机游走的关键泛函的分布极限定理建立显式收敛速率。
• 在极限半正态分布的Kolmogorov与Wasserstein度量下，实现最优的 $ n^{-1/2} $ 收敛速率。
• 应用Goldstein与Reinert最近提出的技术，将半正态分布的特征算子与离散近似分布进行比较。

提出的方法

• 本文构建了半正态分布的特征算子，这是应用Stein方法的关键。
• 通过为解导出合适的微分方程，将Stein方程框架适配到半正态分布。
• 该方法将半正态分布的特征算子与近似随机游走泛函的离散分布的特征算子进行比较。
• 采用Goldstein与Reinert（2012年）的近期技术，以界定极限过程与近似过程生成元之间的差异。
• 通过耦合与矩匹配论证，在Kolmogorov与Wasserstein度量下推导出误差界。
• 该方法利用简单随机游走的对称性与离散结构，确保对近似误差的严密控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Stein方法适配到半正态分布，以获得显式收敛速率？
• RQ2 对称简单随机游走最大值在分布极限定理中的最优收敛速率是多少？
• RQ3 能否证明对称随机游走中返回原点的次数与符号变化次数收敛到半正态分布，并获得显式误差界？
• RQ4 如何利用半正态分布的特征算子与离散近似分布进行比较？

主要发现

• 本文成功地为半正态分布发展了Stein方法，从而能够推导出显式收敛速率。
• 在对称简单随机游走最大值的极限分布中，Kolmogorov与Wasserstein度量下均实现了最优的 $ n^{-1/2} $ 收敛速率。
• 为返回原点的次数与符号变化次数推导出显式误差界，二者均以 $ n^{-1/2} $ 的速率收敛到半正态分布。
• Goldstein与Reinert（2012年）提出的技术被有效应用于比较极限分布与近似分布的特征算子。
• 该方法为分析对称随机游走泛函收敛到半正态分布提供了一个系统性的框架。