[论文解读] Steiner (revised) Szeged index of graphs

Modjtaba Ghorbani, Xueliang Li+4 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Graph theory and applications参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文引入了斯坦纳（修订版）Szeged指数，这是一种利用k个顶点的斯坦纳距离对经典Szeged指数进行的新颖推广。它推导出树的精确公式，通过自同构群轨道表达该指数，并为连通图建立了紧确的上下界，其中对k的极端值（如k = n−1）给出了闭式表达式。

ABSTRACT

The Steiner distance in a graph, introduced by Chartrand et al. in 1989, is a natural generalization of the concept of classical graph distance. For a connected graph $G$ of order at least 2 and $S\subseteq V(G)$, the Steiner distance $d_G(S)$ of the set $S$ of vertices in $G$ is the minimum size of a connected subgraph whose vertex set contains or connects $S$. In this paper, we introduce the concept of the Steiner (revised) Szeged index ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a graph $G$, which is a natural generalization of the well-known (revised) Szeged index of chemical use. We determine the $Sz_k(G)$ for trees in general. Then we give a formula for computing the Steiner Szeged index of a graph in terms of orbits of automorphism group action on the edge set of the graph. Finally, we give sharp upper and lower bounds of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a connected graph $G$, and establish some of its properties. Formulas of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ for small and large $k$ are also given in this paper.

研究动机与目标

• 通过将k-顶点集的斯坦纳距离纳入考虑，推广经典Szeged指数与修订版Szeged指数。
• 推导出树中斯坦纳Szeged指数的精确公式，利用顶点划分与二项式系数。
• 提出一种利用自同构群作用于边上的轨道计算斯坦纳Szeged指数的方法。
• 确定连通图中斯坦纳（修订版）Szeged指数的紧确上下界。
• 推导出k取极端值时（特别是n阶图中k = n−1）指数的闭式表达式。

提出的方法

• 将第k个斯坦纳Szeged指数定义为 $ Sz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + 1)(n_v(e;k) + 1) $，其中 $ n_u(e;k) $ 表示满足u比v更接近 $ S' \cup \{u\} $ 的 $ (k-1) $-子集 $ S' $ 的数量。
• 将第k个修订版斯坦纳Szeged指数定义为 $ rSz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1)(n_v(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1) $，通过 $ n_0(e;k) $ 纳入平局情况。
• 利用自同构群轨道高效计算指数，通过将具有相同结构角色的边分组。
• 对于树，推导出 $ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $，其中 $ a_i $ 为删去一条边后各子树的大小。
• 建立边界：$ m \leq Sz_k(G) \leq m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $，并给出等号成立条件。
• 给出 $ k = n-1 $ 时的精确值：$ Sz_{n-1}(G) = m + p $，$ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $，其中 $ p $ 为悬挂边的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Szeged指数推广至k-顶点斯坦纳距离？
• RQ2 树中斯坦纳Szeged指数的精确公式是什么？
• RQ3 能否利用群作用于边上的轨道高效计算斯坦纳Szeged指数？
• RQ4 连通图中斯坦纳（修订版）Szeged指数的最紧可能上下界是什么？
• RQ5 当k接近最大值（k = n−1）时，指数的闭式表达式是什么？

主要发现

• 对于树，斯坦纳Szeged指数由 $ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $ 给出，其中 $ a_i $ 为删去一条边后各子树的大小。
• 对于具有 $ n $ 个顶点和 $ m $ 条边的图，在 $ k = n-1 $ 时，斯坦纳（修订版）Szeged指数为 $ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $，其中 $ p $ 为悬挂边的数量。
• 当 $ k = n-1 $ 时，标准斯坦纳Szeged指数为 $ Sz_{n-1}(G) = m + p $，对所有连通图均成立。
• 当图 $ G $ 为 $ (n-k) $-连通时，指数 $ Sz_k(G) $ 达到最小值 $ m $，表明具有高度对称性和均衡的顶点分布。
• 指数 $ Sz_k(G) $ 的上界为 $ m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $，对非对称图是紧确的。
• 函数 $ rSz_{n-1}(T) $ 随悬挂边数 $ p $ 严格递增，因此在树中星图使该指数最小，路径图使该指数最大。