[论文解读] Steklov eigenvalues on annulus

Xu-Qian Fan, Luen-Fai Tam+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文计算了在环形区域 $[0,T] \times \mathbb{S}^1$ 上，所有旋转对称共形度量下第 $k$ 个归一化斯泰克洛夫特征值的上确界（$k > 1$），并证明该上确界由对应于嵌入或浸入极小曲面的度量实现，且这些曲面与球体边界正交相交。当 $k=2$ 时，上确界为 $4\pi$，但该值无法在任意有限 $T$ 下实现，与先前关于不可达第二特征值的结果一致。

ABSTRACT

We obtain supremum of the k-th normalized Steklov eigenvalues of all rotational symmetric conformal metrics on the cylinder with k>1. The case k=1 for all conformal metrics has been completely solved by Fraser and Schoen. We give geometric description in terms of minimal surfaces for metrics attaining the supremum. We also obtain some partial results on the comparison of the normalized Stekov eigenvalues of rotationally symmetric metrics and general conformal metrics on the cylinder. A counter example is constructed to show that for that the first normalized Steklov eigenvalue of rotationally symmetric metric may not be larger.

研究动机与目标

• 确定在所有旋转对称共形度量下，环形区域 $[0,T] \times \mathbb{S}^1$ 上第 $k$ 个归一化斯泰克洛夫特征值的上确界（$k > 1$）。
• 表征实现上确界的度量的几何结构，特别是与球体内极小曲面的关系。
• 比较旋转对称度量与一般共形度量在环形区域上的归一化斯泰克洛夫特征值。
• 研究第二归一化斯泰克洛夫特征值的上确界是否可被实现，尤其结合已知的不可达结果。

提出的方法

• 以旋转对称共形度量 $g = f(t)^2(dt^2 + d\theta^2)$ 参数化环形区域，并用 $f(0)/f(T)$ 和 $T$ 表示特征值。
• 通过谱分析与变量分离法，推导圆柱上斯泰克洛夫特征函数的特征值方程。
• 应用变分法与对称性约化，计算第 $k$ 个归一化特征值 $\tilde{\sigma}_k(g) = \sigma_k(g) \cdot L(\partial M)$ 的上确界。
• 通过将度量等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的构造，将极值度量与极小曲面联系起来，且嵌入曲面与球体边界正交相交。
• 构造反例表明，对于固定 $T$，旋转对称度量的第一归一化斯泰克洛夫特征值可能小于一般共形度量的对应值。
• 利用贝塞尔函数与双曲三角恒等式，通过渐近与比较论证，求解临界 $T$ 值的超越方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有旋转对称共形度量下，环形区域 $[0,T] \times \mathbb{S}^1$ 上第 $k$ 个归一化斯泰克洛夫特征值的上确界是多少（$k > 1$）？
• RQ2 哪些几何结构——特别是极小曲面——对应于实现归一化斯泰克洛夫特征值上确界的度量？
• RQ3 第二归一化斯泰克洛夫特征值的上确界是否可由任意有限环形区域上的旋转对称度量实现？
• RQ4 旋转对称度量与一般共形度量在环形区域上的归一化斯泰克洛夫特征值如何比较？

主要发现

• 第 $(2k-1)$ 个归一化斯泰克洛夫特征值的上确界为 $M_{2k-1} = \frac{4k\pi}{T_{2,0}(1)}$，当 $f(1) = f(T)$ 且 $T = \frac{2}{k}T_{2,0}(1)$ 时实现，其中 $T_{2,0}(1)$ 是方程 $s = \coth s$ 的唯一正根。
• 第二归一化斯泰克洛夫特征值的上确界为 $M_2 = 4\pi$，但对任意有限 $T$ 均无法实现，与先前关于不可达特征值的结果一致。
• 对于偶数指标，$M_{2k} = 4k\pi \tanh\left(\frac{k T_{k,1}(1)}{2}\right)$，其中 $T_{k,1}(1)$ 是方程 $k \tanh(ks/2) = \coth(s/2)$ 的唯一正根，且当 $f(1) = f(T)$ 且 $T = T_{k,1}(1)$ 时实现。
• 所有奇数 $k$ 的极值度量均对应于与球体边界正交相交的嵌入或浸入极小曲面，但 $k=2$ 时上确界不可达。
• 构造了一个反例，表明对于固定 $T$，旋转对称度量的第一归一化斯泰克洛夫特征值可能小于一般共形度量的对应值。
• 旋转对称度量与一般度量的归一化特征值比较关系在一大类度量中成立，但一般情况下不成立，如定理 5.1 所示。