[论文解读] Step refinable functions and orthogonal MRA on $p$-adic Vilenkin groups

С. Ф. Лукомский|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了在p进Vilenkin群上，阶跃可 refinable 函数生成正交多分辨率分析（MRA）的必要与充分条件。证明了此类函数的傅里叶变换必须在 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ 上有紧支集，从而改进了先前认为支集位于 $\mathfrak{G}_1^\perp$ 的假设，并针对一类在 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 上的陪集上 mask $m_0(\chi)$ 为常数且满足 $|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$ 的函数，证明了该界是紧的。

ABSTRACT

We find the necessary and sufficient conditions for refinable step function under which this function generates an orthogonal MRA in the $L_2(\mathfrak G)$ -spaces on Vilenkin groups $\mathfrak G$. We consider a class of refinable step functions for which the mask $m_0(χ)$ is constant on cosets $\mathfrak G_{-1}^\bot$ and its modulus $|m_0(χ)|$ takes two values only: 0 and 1. We will prove that any refinable step function $φ$ from this class that generates an orthogonal MRA on $p$-adic Vilenkin group $\mathfrak G$ has Fourier transform with condition ${ m supp} \hat φ(χ)\subset \mathfrak G_{p-2}^\bot$. We show the sharpness of this result too.

研究动机与目标

• 确定在p进Vilenkin群上，阶跃可refinable函数在 $L_2(\mathfrak{G})$ 中生成正交MRA的必要与充分条件。
• 基于先前的反例，挑战既有的假设，即此类函数的傅里叶变换必须在 $\mathfrak{G}_1^\perp$ 上有支集。
• 分析一类特定的可refinable阶跃函数，其mask $m_0(\chi)$ 在 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 的陪集上为常数，且满足 $|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$。
• 证明任何生成正交MRA的此类函数必须满足 $\operatorname{supp}\hat{\varphi}(\chi) \subset \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$，并证明该界是紧的。

提出的方法

• 分析使用零维局部紧阿贝尔群上的傅里叶变换，特别是具有子群基本链 $G_n$ 的Vilenkin群。
• 定义对偶群及正交补 $\mathfrak{G}_n^\perp$，利用特征群分析 $\varphi$ 的谱支集。
• 假设mask $m_0(\chi)$ 在 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 的陪集上为常数，且其模仅取值0和1，从而限制了重构方程的结构。
• 通过从mask导出的 $\lambda_k$ 系数的乘积，递归地分解傅里叶变换 $\hat{\varphi}(\chi)$，追踪各陪集层级上非零支集的传播。
• 通过证明在每个陪集 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp r_{-1}^{\alpha_{-1}} \cdots r_{l-1}^{\alpha_{l-1}}$ 上，$\hat{\varphi}$ 的模平方之和恒为1，来验证系统 $\{\varphi(x - h)\}_{h \in H_0}$ 的正交性，从而确保MRA的一致性。
• 通过构造在 $\mathfrak{G}_l^\perp \setminus \mathfrak{G}_{l-1}^\perp$ 上非零但在 $\mathfrak{G}_{l+1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_l^\perp$ 上为零的示例，证明了 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ 边界的紧致性，其中 $l = p-2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进Vilenkin群上，是否每个生成正交MRA的可refinable阶跃函数的傅里叶变换支集都必须位于 $\mathfrak{G}_1^\perp$？
• RQ2 当mask $m_0(\chi)$ 在 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp$ 上为常数且满足 $|m_0(\chi)| \in \{0,1\}$ 时，此类函数的最小可能谱支集是什么？
• RQ3 傅里叶变换 $\hat{\varphi}$ 的支集是否可以严格小于 $\mathfrak{G}_1^\perp$？如果是，最优边界是什么？
• RQ4 对于该类函数，$\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ 边界是否是紧的，还是可以进一步缩小？
• RQ5 mask $m_0(\chi)$ 的结构，特别是其周期性与二值模，如何限制 $\hat{\varphi}$ 的支集？

主要发现

• 任何属于指定类别的可refinable阶跃函数 $\varphi$，若在p进Vilenkin群 $\mathfrak{G}$ 上生成正交MRA，则必须满足 $\operatorname{supp}\hat{\varphi}(\chi) \subset \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$，且当 $p > 3$ 时，该集合严格小于 $\mathfrak{G}_1^\perp$。
• 该边界 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ 是紧的，通过构造示例证明：$\hat{\varphi}$ 在 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp \setminus \mathfrak{G}_{p-3}^\perp$ 上非零，但在 $\mathfrak{G}_{p-1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_{p-2}^\perp$ 上为零。
• $\hat{\varphi}(\chi)$ 在 $\mathfrak{G}_l^\perp \setminus \mathfrak{G}_{l-1}^\perp$ 上非零（$l = p-2$），但在 $\mathfrak{G}_{l+1}^\perp \setminus \mathfrak{G}_l^\perp$ 上消失，确认了支集条件的紧致性。
• 通过证明在每个陪集 $\mathfrak{G}_{-1}^\perp r_{-1}^{\alpha_{-1}} \cdots r_{l-1}^{\alpha_{l-1}}$ 上，$|\hat{\varphi}|^2$ 的和恒为1（对所有 $\alpha_{-1} \in \{0, \dots, p-1\}$），验证了系统 $\{\varphi(x - h)\}_{h \in H_0}$ 的正交性。
• 构造依赖于从mask导出的系数 $\lambda_k$，其中 $\lambda_k = 0$ 对于 $k \in E_l^{(0)}$，且 $\lambda_k \neq 0$ 对于 $k \in E_l^{(1)}$，且 $\hat{\varphi}$ 的乘积结构确保了所需的支集与归一化。
• 该结果反驳了先前认为 $\mathfrak{G}_1^\perp$ 是最小支集的假设，表明当 $p > 3$ 时，支集可显著缩小，且正确的最小支集应为 $\mathfrak{G}_{p-2}^\perp$。