[论文解读] Stepping-stone model with circular Brownian migration

Xiaowen Zhou|ArXiv.org|Sep 16, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文提出了一种基于阿腊蒂亚流与环形共alescing布朗运动的新型步石模型表示方法，用于描述环形布朗运动迁移，从而实现灭绝时间分布的显式计算。关键结果是：在圆周上仅剩一种类型时的时间的拉普拉斯变换为 $\mathbb{Q}^\mu[e^{-\lambda T}] = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sinh(\sqrt{\lambda})}$，且该结果与初始扩散测度 $\mu$ 无关。这为该模型中一致时间的完整分布特征提供了刻画。

ABSTRACT

In this paper we consider a stepping-stone model on a circle with circular Brownian migration. We first point out a connection between Arratia flow and the marginal distribution of this model. We then give a new representation for the stepping-stone model using Arratia flow and circular coalescing Brownian motion. Such a representation enables us to carry out some explicit computation. In particular, we find the Laplace transform for the time when there is only a single type left across the circle.

研究动机与目标

• 建立基于阿腊蒂亚流与环形共alescing布朗运动的步石模型的新型表示方法。
• 实现对圆周上仅剩一种类型时的时间分布的显式计算。
• 通过阿腊蒂亚流的原像表征过程的进入律。
• 在一般初始条件下（初始类型分布为扩散型）推导一致时间 $T$ 的拉普拉斯变换。

提出的方法

• 利用阿腊蒂亚流与环形共alescing布朗运动表示该模型，将步石过程与圆周上粒子的共alescing联系起来。
• 通过阿腊蒂亚流的原像构造一个取值为阶梯函数的过程 $X'$，以确保其有限维分布正确。
• 利用阿腊蒂亚流的像指定 $X'$ 的进入律，从而推导出一致时间。
• 通过涉及 $\epsilon$-近似及相邻粒子间最大间隔分布的极限过程，推导出一致时间 $T$ 的拉普拉斯变换。
• 利用布朗运动的对偶性与共alescing性质，计算存活时间分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有环形布朗运动迁移的步石模型中，仅剩一种类型的时间分布是什么？
• RQ2 阿腊蒂亚流如何与步石模型的边际分布相关联？
• RQ3 能否通过粒子共alescing与流表示方法显式计算一致时间分布？
• RQ4 一致时间分布是否依赖于初始扩散测度 $\mu$？
• RQ5 当 $\epsilon \to 0^+$ 时，包含幸存类型的区间的极限行为如何？

主要发现

• 一致时间 $T$ 的拉普拉斯变换为 $\mathbb{Q}^\mu[e^{-\lambda T}] = \frac{\sqrt{\lambda}}{\sinh(\sqrt{\lambda})}$，且与初始扩散测度 $\mu$ 无关。
• 该分布与阿腊蒂亚流在圆周上的像首次坍缩为单一点的时间分布完全相同。
• 在相同初始条件下，存活概率 $\mathbb{Q}^\mu\{T \leq t\}$ 显式表示为 $1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \exp(-n^2 \pi^2 t)$，对所有 $t \geq 0$ 成立。
• 当 $\epsilon \to 0^+$ 时，包含幸存类型的区间依分布收敛于 $\mathbb{T}$ 上的均匀分布随机变量。
• 只要对几乎所有 $e \in \mathbb{T}$，有 $\mu(e)$ 为扩散测度，则一致时间分布对所有初始扩散测度 $\mu$ 均具有普适性。
• 当 $\epsilon \to 0^+$ 时，相邻粒子间最大间隔 $\Delta(\epsilon)$ 依概率趋于零，从而确保一致性的收敛。