[论文解读] Steps towards a classification of $C^r$-generic dynamics close to homoclinic points

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一套关于同宿纵横与异宿环附近动力学的 $C^r$-通用分类框架，证明了当且仅当系统非体积双曲时，将出现无穷多个汇/源。该研究将同宿纵横附近可实现的李雅普诺夫指数向量集刻画为一个凸多面体，将 $C^1$-结果推广至 $C^r$ 与 $C^{1+\alpha}$ 拓扑，并证实了图雷夫关于同宿纵横的猜想。

ABSTRACT

We present here the first part of a program for a classification of the generic dynamics close to homoclinic and heteroclinic points, in the $C^r$ topologies, $r\geq 1$. This paper only contains announcements and a few sketches of proofs; a forthcoming series of papers will present the proofs in details. The two prototypical examples of non-hyperbolic dynamics are homoclinic tangencies and heterodimensional cycles. Palis conjectured that they actually characterize densely non-hyperbolic dynamics. It is therefore important to understand what happens close to those bifurcations. We generalize classical results of Newhouse, Palis and Viana, for both tangencies and cycles: close to a homoclinic tangency or to a heterodimensional cycle there is abundance of diffeomorphisms exhibiting infinitely many sinks or sources if and only if the dynamics is not volume-hyperbolic. This proves in particular a conjecture of Turaev for homoclinic tangencies. An important result of Bonatti, Diaz, Pujals states that if a homoclinic class is $C^1$-robustly without dominated splitting, then nearby diffeomorphisms exhibit $C^1$-generically infinitely many sinks or sources. We show that this holds in higher regularities, under the further assumption that non-dominations are obtained through so-called "mechanisms". This includes all the examples of robustly non-dominated homoclinic classes one can build with the tools known up to now. We actually have a $C^r$-equivalent of a recent $C^1$-result of Bochi and Bonatti: we describe precisely the Lyapunov exponents along periodic points that may appear close to a homoclinic tangency or to a homoclinic class. The results of Newhouse, Palis and Viana were proven for the $C^r$ topologies, $r\geq 2$. Our results hold also in the $C^{1+α}$ topologies.

研究动机与目标

• 将里程碑式的 $C^1$-通用动力学结果推广至 $r > 1$ 的 $C^r$-拓扑，其中标准的扰动工具（如闭合引理与连接引理）失效。
• 通过聚焦同宿纵横与异宿环作为典型分岔，统一非双曲动力学的研究。
• 在 $C^r$-拓扑下，刻画这些分岔附近周期测度的可能李雅普诺夫指数向量集。
• 证明非体积双曲性意味着汇/源的丰沛性，将纽豪斯、帕利斯与维亚纳的结果推广至更高正则性。
• 建立博奇与博纳蒂在 $C^1$-拓扑下关于同宿纵横附近李雅普诺夫指数实现的 $C^r$-等价结果。

提出的方法

• 基于周期测度的李雅普诺夫映射 $\sigma: \{0,\dots,d\} \to \mathbb{R}$ 提出形式化框架，满足 $\sigma(0) = 0$ 且 $\sigma(d) = \text{tr}(Df)$。
• 将集合 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 定义为满足 $\tau \geq \sigma$ 且在 $\Lambda$ 上的主导分裂指标集 $I$ 上与 $\sigma$ 一致的李雅普诺夫映射 $\tau$ 的凸多面体。
• 利用 $C^r$-扰动构造微分同胚序列 $f_n \to f$ 与周期测度 $\mu_n$，其支集在 Hausdorff 拓扑下收敛至 $\Lambda$。
• 证明在 $f$ 的邻域 $\mathcal{U}$ 中，对 $C^r$-通用微分同胚 $g$，$g|_U$ 的周期测度的李雅普诺夫映射的闭包在 $\mathbb{R}^d$ 中包含 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 的一个邻域。
• 通过在异宿环情形下定义 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 为满足 $\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 且在 $i \in I$ 上满足 $\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 的凸映射 $\tau$ 的集合，将该框架适配于异宿环情形，其中 $\mu, \sigma$ 分别为两个鞍点的李雅普诺夫映射。
• 通过将陈述相应地类比于 $C^r$-结果，将该理论应用于 $C^{1+\alpha}$-拓扑，保持可实现李雅普诺夫指数的多面体结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 $C^r$-扰动，在 $C^r$-通用同宿纵横附近，可渐近实现的李雅普诺夫指数向量集是什么？
• RQ2 在何种 $C^r$-正则性条件下，纽豪斯现象——即在同宿纵横或异宿环附近出现无穷多个汇/源——会成立？
• RQ3 博奇与博纳蒂在 $C^1$-拓扑下关于李雅普诺夫指数实现的结果，能否推广至 $r > 1$ 的 $C^r$-拓扑？
• RQ4 对于具有通用组合结构的异宿图，体积双曲性与纽豪斯现象之间的二分性在 $C^r$-拓扑下是否成立？
• RQ5 该框架能否推广至指标差大于一的异宿环情形，其中通过 $C^1$-扰动无法构造出鲁棒环？

主要发现

• 在同宿纵横 $\Lambda$ 附近，可实现的李雅普诺夫指数向量集正是由凸映射 $\tau \geq \sigma$ 构成的凸多面体 $\mathcal{G}(\Lambda)$，且 $\tau$ 在 $\Lambda$ 上的主导分裂指标集 $I$ 上与 $\sigma$ 一致，其中 $I$ 包含 $\{0,d\}$ 及所有具有主导分裂的指标。
• 对于 $f$ 的邻域 $\mathcal{U}$ 中的任意 $C^r$-通用微分同胚 $g$，其在残子集中的 $g|_U$ 的周期测度的李雅普诺夫映射的闭包在 $\mathbb{R}^d$ 中包含 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 的一个邻域。
• $C^r$-版本的纽豪斯现象——即在同宿纵横附近出现无穷多个汇或源——成立当且仅当动力系统非体积双曲，从而证实了图雷夫的猜想。
• 该框架可推广至 $C^{1+\alpha}$-拓扑，且在相应陈述适配后，可实现李雅普诺夫指数的多面体结构保持不变。
• 对于异宿环情形，候选集 $\mathcal{G}(\Lambda)$ 是满足 $\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 且在 $i \in I$ 上满足 $\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$ 的凸映射 $\tau$ 的多面体，但该结论对指标差大于一的情形仍为猜想。
• 结果将纽豪斯、帕利斯与维亚纳的 $C^r$-结果推广至 $C^r$-通用动力学，并在假设‘机制’性非主导的条件下，将博奇与博纳蒂的 $C^1$-结果扩展至 $C^r$-正则性。