[论文解读] Steps towards nonlinear cluster inversion through gravitational distortions: III. Including a redshift distribution of the sources

Carolin Seitz, Petra Schneider|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1996

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions参考文献 1被引用 18

一句话总结

本文通过引入背景源星系的红移分布，将非线性星系团引力透镜反演方法进一步拓展，表明对于非临界星系团，仅需两到三个红移分布的矩即可完成重建。尽管存在持续的全局质量退化问题，本研究识别出星系数密度的放大效应是唯一可行的实际方法，可用于打破该退化并约束平均表面质量密度。

ABSTRACT

In a series of previous papers we have considered the reconstruction of the surface mass density of a cluster of galaxies from images of lensed faint background galaxies. We showed that the reconstructed surface mass density is not uniquely determined, but that there exists a global invariance transformation that leaves the shape of the images of the lensed galaxies unchanged. Because of this, only lower limits on the total mass of a cluster can be derived if no further informations besides image ellipticities are used. Throughout these papers we used the simplifying assumption that all sources are at the same redshift. In this paper we account for a redshift distribution of the faint galaxies, and in particular, some of these galaxies can lie in front of the cluster or can be cluster members. We show how the mass distribution of a cluster of galaxies can be obtained from images of these faint galaxies, if the redshift distribution of these galaxies is known. We demonstrate that for the reconstruction of non-critical clusters we need less information on the redshift distribution of the galaxies, i.e., we only need to know two or three moments of the distribution. We show that the mean mass density across the data field is still a free variable, i.e., there remains a global invariance transformation of the resulting mass density field. For non-critical clusters we can derive the transformation explicitly and it is similar to that derived previously for the case of a single redshift of the sources. We discuss several theoretical ideas to break the mass degeneracy; of those considered, we find that only the magnification effect on the number density of galaxy images can be used successfully in practice.

研究动机与目标

• 将弱引力透镜的非线性星系团质量反演方法推广至包含背景星系真实红移分布的情形。
• 解决当仅使用图像椭圆率时，持续存在的全局不变变换（质量退化）导致无法唯一反演质量的问题。
• 在实际观测中，特别是在存在源星系红移分布的情况下，识别可行的方法以打破质量退化。
• 测试利用星系数密度放大效应作为约束星系团区域平均表面质量密度的可行性。

提出的方法

• 将无偏有限场反演方法（Seitz & Schneider 1996）推广，以考虑背景源的连续红移分布。
• 推导观测图像椭圆率对局部表面质量密度和剪切的依赖关系，结合红移相关的透镜几何结构。
• 显式构建非临界星系团在红移分布下的全局不变变换，表明其形式与单红移情况相似。
• 使用图像椭圆率的二阶矩与一阶矩之比 $ R = \langle \epsilon^2 \rangle / \langle \epsilon \rangle^2 $ 作为关键可观测量，以推断局部光学深度 $ \kappa $，该近似在 $ \kappa \lesssim 0.8 $ 范围内有效。
• 提出通过最小化观测值与重建值之间 $ R(\theta) $ 的 $ \chi^2 $ 来估计平均表面质量密度 $ \bar{\kappa} $，假设在反演过程中采用一个试值作为 $ \bar{\kappa} $。
• 利用合成数据测试该方法，将通过 $ R $ 重建的 $ \kappa $ 与真实值进行比较，验证了在 $ \kappa \lesssim 0.8 $ 条件下近似式 (A3.5) 的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当背景源具有红移分布而非单一红移时，星系团的表面质量密度能否被唯一重建？
• RQ2 为实现精确的非线性星系团反演，红移分布中需要哪些信息？
• RQ3 在实际中，哪些可观测效应能够打破全局不变变换（质量退化）？
• RQ4 星系数密度的放大效应能否用于约束星系团区域的平均表面质量密度？
• RQ5 当星系数密度有限时，通过图像椭圆率矩估计平均光学深度 $ \bar{\kappa} $ 的精度如何？

主要发现

• 对于非临界星系团，仅需两到三个红移分布的矩即可完成重建，显著减少了所需先验信息。
• 即使存在红移分布，全局不变变换依然存在，意味着在无额外信息时总质量仍无法被约束。
• 在多种理论方法中，仅星系图像数密度的放大效应在实际中可行。
• 近似式 $ \kappa \approx \left( \sqrt{R/f} - 1 \right) / \left( \langle w^3 \rangle / \langle w^2 \rangle \cdot \sqrt{R/f} - \langle w^2 \rangle / \langle w \rangle \right) $（公式 A3.5）在 $ \kappa \lesssim 0.8 $ 范围内能良好估计 $ \kappa $，并经合成数据验证。
• 利用图像椭圆率矩约束平均表面质量密度 $ \bar{\kappa} $ 的尝试在真实星系数密度下失败，因为对 $ \langle \epsilon \rangle $ 和 $ \langle \epsilon^2 \rangle $ 所需的精度无法达到。