[论文解读] Stern polynomials and algebraic independence

Daniel Duverney, Iekata Shiokawa|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2026

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一句话总结

作者证明对整数 t≥2、k≥1 且任意非零代数 α 满足 |α|<1，值 H_k(α) 与 H_k(α^{t^k}) 在代数上彼此独立，使用 Mahler 方法应用于相关的连分数。

ABSTRACT

Let $t\geq2$ and $k\geq1$ be integers. Let $H_{k}(z)$ with $\left\vert z ight\vert &lt;1$ be the limit of a certain subsequence of the Stern polynomials introduced by Dilcher and Eriksen. We use Mahler's method to prove the algebraic independence of the values at nonzero algebraic points of the functions $H_{k}(z)$ and $H_{k}(z^{t^{k}})$.

研究动机与目标

• 在 Diophantine 与超越数情境下，激发对 Stern 多项式及其极限函数 H_k(z) 的研究。
• 旨在建立对于非零代数 α 且 0<|α|<1 的对 (H_k(α), H_k(α^{t^k})) 的代数独立性。
• 利用连分数表示与 Mahler 方法推导独立性结论及超越性后果。

提出的方法

• 将 H_k(z) 定义为 Dilcher–Eriksen Stern 多项式子序列极限中的极限子序列。
• 推导一个关于 H_k(z^{t^k}), H_k(z^{t^{2k}}) 等的函数系统，得到一个 2x2 矩阵递推 A(z)。
• 对满足可逆取值的线性泛函方程的函数，应用 Mahler 方法来获得代数独立性。
• 证明中间引理：A(z) 只有 0 处的极点；H_k(1/2)/H_k(1/2^{t^k}) 为无理数；H_k(z) 为超越函数；H_k(z) 与 H_k(z^{t^k}) 在 C(z) 上代数独立。
• 应用 Ku. Nishioka 的 [Mahler 函数与超越性] 框架，在 0<|α|<1 的代数 α 处推出对的代数独立性。
• 推导关于涉及 H_k(α) / H_k(α^{t^k}) 的某些连分数的超越性结果的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个满足 0<|α|<1 的非零代数 α，H_k(α) 与 H_k(α^{t^k}) 是否成对代数独立？
• RQ2 是否可以有效地将 Mahler 方法应用于由 Stern 多项式产生的连分数表示，以推导超越性结果？
• RQ3 与代数点下的特殊化相关的连分数及其超越性结果有哪些？
• RQ4 A(z) 与相关矩阵递推的性质如何推动独立性结论？

主要发现

• 对于 0<|α|<1 的任意代数 α，H_k(α) 与 H_k(α^{t^k}) 在代数上彼此独立。
• H_k(α)/H_k(α^{t^k}) 的连分数表达式收敛，在 α 为代数且 0<|α|<1 时得到一个超越值。
• H_k(z) 在 C(z) 上为超越函数，其系数结构受限于 {0,1}。
• 基于 Az(z) 的函数系统使得能够应用 Mahler 方法以推导代数独立性。
• 推论包括涉及在代数点处的 H_k 的连分数组成的超越性结果。