[论文解读] Sticky processes, local and true martingales

Miklós Rásonyi, Hasanjan Sayit|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文证明，在总变差范数下与原始测度 P 任意接近的等价概率测度 Q 下，粘性局部鞅可被真鞅任意精确地逼近。关键结果表明，对任意粘性过程 S，存在一个 Q-鞅 Ŝ，使得 ‖Ŝ − S‖_Lp(Q) 任意小；对于连续路径，上确界范数逼近亦可实现。

ABSTRACT

We prove that for a so-called sticky process $S$ there exists an equivalent probability $Q$ and a $Q$-martingale $ ilde{S}$ that is arbitrarily close to $S$ in $L^p(Q)$ norm. For continuous $S$, $ ilde{S}$ can be chosen arbitrarily close to $S$ in supremum norm. In the case where $S$ is a local martingale we may choose $Q$ arbitrarily close to the original probability in the total variation norm. We provide examples to illustrate the power of our results and present applications in mathematical finance.

研究动机与目标

• 解决在等价测度下用真鞅逼近局部鞅的挑战。
• 将测度变换的离散时间结果推广至连续时间设定，其中此类逼近在一般情况下不成立。
• 刻画一类广泛的过程——粘性过程——使得此类逼近成为可能。
• 为涉及非真鞅的局部鞅的金融应用提供理论基础。

提出的方法

• 引入粘性概念：在有限时间范围内，过程以正概率保持在其当前值的任意小邻域内。
• 利用条件全支撑（CFS）性质和马氏性，识别出粘性过程的类别，包括 Lévy 过程和分数布朗运动。
• 应用可测选择定理，并通过正可积密度 f 基于核的测度变换构造等价测度 Q。
• 采用泛函分析框架，涉及连续函数的 Banach 空间和条件分布，以确保范数逼近。
• 构造一个密度 j(z, ω)，以调整过程增量的条件分布，从而在 Q 下强制均值为零且范数较小。
• 利用独立性与条件期望恒等式（引理 7.4）控制测度变换中的联合矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个非真鞅的局部鞅是否可在等价测度下被真鞅逼近？
• RQ2 在何种条件下，可使逼近测度 Q 在总变差范数下任意接近原始测度 P？
• RQ3 哪些类型的随机过程（如 Lévy、CFS、连续、跳跃过程）满足此类逼近所必需的粘性条件？
• RQ4 该逼近是否可在 Lp(Q) 范数下实现？对于连续路径，是否也可在上确界范数下实现？
• RQ5 条件全支撑（CFS）性质在实现此类逼近中起什么作用？

主要发现

• 对任意粘性过程 S，存在一个等价概率测度 Q，使得一个 Q-鞅 Ŝ 满足对任意 ε > 0，有 ‖Ŝ − S‖_Lp(Q) < ε。
• 当 S 连续时，可在 Q 下使逼近在上确界范数下任意接近。
• 对粘性局部鞅，可选择测度 Q，使得其与 P 的总变差距离小于任意 δ > 0。
• 粘性过程类包括所有正规强马氏过程、大多数 Lévy 过程，以及具有 CFS 性质的过程（如分数布朗运动）。
• 该构造依赖于对正密度的可测选择，以调整条件分布，强制均值为零且范数较小，同时保持测度等价性。
• 该方法适用于 c`adl`ag 过程，扩展了以往仅限于连续路径结果的范围。