[论文解读] Stochastic blockmodel approximation of a graphon: Theory and consistent estimation

Edoardo M. Airoldi, Thiago B. Costa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 26被引用 116

一句话总结

该论文提出了一种计算高效的随机块模型近似（SBA）算法，以一致地从观测到的网络数据中估计图函数。通过基于潜在位置中节点相似性的分段常数函数近似图函数，在分段Lipschitz假设下，随着网络规模增大，该方法在均绝对误差下实现了几乎必然一致性。

ABSTRACT

Non-parametric approaches for analyzing network data based on exchangeable graph models (ExGM) have recently gained interest. The key object that defines an ExGM is often referred to as a graphon. This non-parametric perspective on network modeling poses challenging questions on how to make inference on the graphon underlying observed network data. In this paper, we propose a computationally efficient procedure to estimate a graphon from a set of observed networks generated from it. This procedure is based on a stochastic blockmodel approximation (SBA) of the graphon. We show that, by approximating the graphon with a stochastic block model, the graphon can be consistently estimated, that is, the estimation error vanishes as the size of the graph approaches infinity.

研究动机与目标

• 解决从观测网络数据中对图函数进行非参数推断的挑战。
• 开发一种计算高效的估计底层图函数的方法。
• 在合理的光滑性假设下，建立估计过程的理论一致性。
• 提供一种实用算法，实现在不依赖节点规范标记的情况下的一致估计。

提出的方法

• 使用二维阶梯函数近似图函数，等价于随着n增大而减小块大小的随机块模型。
• 通过图函数行和列切片之间的L1距离定义节点相似性，并利用观测到的邻接矩阵估计这些距离。
• 基于估计的相似性将节点聚类为块，块大小由随n减小的阈值Δn控制。
• 将每个块中的图函数值估计为该块内边概率的经验均值。
• 利用图函数的分段Lipschitz条件，通过集中不等式控制估计误差。
• 通过证明均绝对误差（MAE）和均方误差（MSE）在n → ∞时以概率和期望方式收敛于零，建立一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种计算高效的算法，能够从观测网络数据中一致地估计图函数？
• RQ2 随着网络规模增大，通过随机块模型近似图函数是否能实现一致估计？
• RQ3 在图函数满足分段Lipschitz连续性时，估计误差的行为如何？
• RQ4 估计误差的收敛速率如何随网络规模变化？
• RQ5 由于基于块的结构，该方法是否即使在节点标签被置换的情况下也能实现一致性？

主要发现

• SBA算法实现了几乎必然一致性：随着n → ∞，估计图函数的均绝对误差（MAE）以概率收敛于零。
• 期望均绝对误差收敛于零，表明在分段Lipschitz假设下，估计具有一致性（在期望意义下）。
• 在模拟研究中，该方法优于现有方法（如USVT），且具有更优的计算复杂度。
• 估计误差被控制在O(√Δn + Δn)以内，其中Δn是随n减小的调优参数，确保收敛性。
• 即使估计的图函数是相对于节点置换定义的，一致性结果依然成立，因为误差是相对于真实生成图函数测量的。
• 证明依赖于集中不等式和对块大小的控制，以确保随着n增大，小块中的节点比例趋于零。