[论文解读] Stochastic Comparisons of Lifetimes of Two Series and Parallel Systems with Location-Scale Family Distributed Components having Archimedean Copulas

Amarjit Kundu, Shovan Chowdhury|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文研究了当组件服从位置尺度族分布并以阿基米德Copula形式呈现依赖关系时，串联系统与并联系统寿命的随机比较。研究发现，位置或尺度参数的离散度增加会带来更强的系统性能，且在独立情况下所得结果比依赖情况下更具一般性，从而将先前针对指数分布和Weibull分布的研究成果推广至更广泛的分布族。

ABSTRACT

In this paper, we compare the lifetimes of two series and two parallel systems stochastically where the lifetime of each component follows location-scale (LS) family of distributions. The comparison is carried out under two scenarios: one, that the components of the systems have a dependent structure sharing Archimedean copula and two, that the components are independently distributed. It is shown that the systems with components in series or parallel sharing Archimedean copula with more dispersion in the location or scale parameters results in better performance in the sense of the usual stochastic order. It is also shown that if the components are independently distributed, it is possible to obtain more generalized results as compared to the dependent set-up. The results in this paper generalizes similar results in both independent and dependent set up for exponential and Weibull distributed components.

研究动机与目标

• 将串并联系统的随机比较结果从独立组件推广至通过阿基米德Copula关联的依赖组件。
• 将现有关于指数分布和Weibull分布的研究成果推广至更广泛的位于尺度（LS）分布族。
• 研究位置与尺度参数的变化如何在独立与依赖组件结构下，对系统寿命产生随机影响。
• 建立充分条件，使一个系统在通常随机序、似然比序及老化更快序下随机支配另一个系统。
• 通过阿基米德Copula与LS族基线分布，比较不同依赖结构下的系统性能。

提出的方法

• 采用位置尺度族表示：$ X \sim LS(\lambda, \sigma, F) $，其中 $ F\left(\frac{x - \lambda}{\sigma}\right) $，$ \lambda $ 为位置参数，$ \sigma $ 为尺度参数。
• 利用阿基米德Copula建模组件依赖关系，其生成器为 $ \psi_1 $ 和 $ \psi_2 $，其逆函数为 $ \phi_1 = \psi_1^{-1} $，$ \phi_2 = \psi_2^{-1} $。
• 应用随机序——通常随机序、似然比序、风险率序与逆风险率序——以比较系统寿命。
• 运用极大化理论与 $ \phi_2 \circ \psi_1 $ 的超可加性，推导随机优势条件。
• 使用逆风险率函数 $ \tilde{r}_X(u) $ 与风险率函数 $ r_X(u) $ 评估老化行为并推导排序结果。
• 推导系统寿命分布函数：$ G_{n:n}(t) = \psi_1\left[\sum_{k=1}^n \phi_1\left\{F\left(\frac{t - \lambda_k}{\sigma_k}\right)\right\}\right] $，适用于串联系统与并联系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 位置或尺度参数的离散度增加，如何影响LS分布组件的串并联系统的随机性能？
• RQ2 在通过阿基米德Copula实现依赖的组件条件下，何种条件可确保一个系统随机支配另一个系统？
• RQ3 在依赖组件情况下的结果，与独立情况相比，在随机序的普遍性与强度方面有何差异？
• RQ4 在何种Copula生成器与基线分布条件下，可使并联系统满足 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $？
• RQ5 在何种情况下，两个LS分布组件的系统之间成立通常随机序、似然比序或老化更快序？

主要发现

• 对于共享阿基米德Copula的串联系统，若 $ \phi_2 \circ \psi_1 $ 超可加，$ \psi_1 $ 或 $ \psi_2 $ 对数凸，且 $ X \geq_{st} Y $，则 $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ 蕴含 $ X_{1:n} \geq_{st} Y_{1:n} $。
• 对于位置参数相同的并联系统，若满足相同条件且逆风险率递减，则 $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ 蕴含 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $。
• 当尺度参数变化而位置参数相等时，若 $ ur_X(u) $ 或 $ ur_Y(u) $ 递减，则 $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{p}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ 蕴含 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $。
• 当位置参数变化而尺度参数相等时，若 $ X \geq_{st} Y $ 且 $ ur_X(u) $ 或 $ ur_Y(u) $ 递减，则 $ \boldsymbol{\lambda} \succeq_w \boldsymbol{\mu} $ 蕴含 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $。
• 结果将先前关于指数分布与Weibull分布的研究成果推广至整个位置尺度族，涵盖独立与依赖的组件结构。
• 独立情况下的结果比依赖情况更具一般性，因独立性避免了对Copula特定条件（如生成器的超可加性或对数凸性）的依赖。