[论文解读] Stochastic continuity of random fields governed by a system of stochastic PDEs

Kai Du, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过引入涉及 $L^p$-范数的修正随机抛物性条件，建立了随机 PDE 系统的 $C^{2+\theta}$-正则性理论，确保解在空间和时间上的 Hölder 连续性。证明了尖锐的 Schauder 型估计与 $L^p$-值 Hölder 空间中的可解性结果，将经典 SPDE 理论扩展至系数结构假设最少的系统情形。

ABSTRACT

This paper constructs a solvability theory for a system of stochastic partial differential equations. On account of the Kolmogorov continuity theorem, solutions are looked for in certain Hölder-type classes in which a random field is treated as a space-time function taking values in $L^{p}$-space of random variables. A modified stochastic parabolicity condition involving $p$ is proposed to ensure the finiteness of the associated norm of the solution, which is showed to be sharp by examples. The Schauder-type estimates and the solvability theorem are proved.

研究动机与目标

• 为随机 PDE 系统发展 $C^{2+\theta}$-正则性理论，将现有的 $L^p$-理论扩展至具有非对角扩散矩阵的系统。
• 解决在 $p=2$ 以外的 Hölder 型空间中随机 PDE 系统正则性结果的缺乏问题。
• 建立解在 $L^p$-值 Hölder 范数下有界的尖锐条件，确保随机连续性与样本路径正则性。
• 将 Kolmogorov 连续性定理推广至取值于 $L^p(\Omega)$ 的随机场，从而推导出解的路径连续 Hölder 正则性。

提出的方法

• 引入新的 $L^p$-值 Hölder 空间 $\mathcal{C}_p^\delta$，将随机场视为取值于 $L^p(\Omega)$ 的时空函数，从而实现对样本路径正则性的分析。
• 提出一种涉及 $p$ 的修正随机抛物性条件，确保解范数在 $\mathcal{C}_p^\delta$ 中的有限性，且通过反例证明该条件为尖锐条件。
• 在 $L^p(\Omega)$-值设定下应用 Kolmogorov 连续性定理，推导出解的随机连续性与 Hölder 正则性。
• 在新抛物性条件下，推导出解的二阶导数的 Schauder 型估计，将确定性方法推广至随机系统背景。
• 利用傅里叶分析与 SDE 技术，分析具有时空白噪声的模型系统中解的 $L^p$-范数增长，证明当抛物性条件不成立时会出现爆破。
• 构建一个框架，使得在抛物性条件中辅助矩阵 $\Lambda$ 的选择可针对特定系数结构进行优化，从而提升准则的尖锐性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数矩阵的假设最少的前提下，能否为随机 PDE 系统建立 $C^{2+\theta}$-正则性理论？
• RQ2 确保解在 $L^p$-值 Hölder 范数下有界的系数尖锐条件是什么，从而保证随机连续性？
• RQ3 扩散矩阵的反对称部分如何影响解的 $L^p$-范数，能否在广义抛物性条件中捕捉到这一影响？
• RQ4 所提出的随机抛物性条件是否最优？通过引入辅助矩阵 $\Lambda$ 能否进一步改进？
• RQ5 Kolmogorov 连续性定理能否被适配于取值于 $L^p(\Omega)$ 的随机场，以推导出解的路径连续 Hölder 正则性？

主要发现

• 证明了涉及 $p$ 的修正随机抛物性条件是尖锐的：若该条件不成立，解的 $L^p$-范数可能在有限时间内爆破，如示例 6.5 所示，其中 $p=3$，$\lambda=3$，$\mu=1$。
• 当 $p \geq 3$ 时，抛物性条件中选择 $\Lambda = \frac{\lambda - \mu}{2(p-2)}$ 可获得最优界，且 $\Lambda = 0$ 并不总能给出最小要求。
• 若数据 $f$、$g$ 与 $\partial g$ 属于该空间，则解 $u$ 及其一阶与二阶导数均属于 $L^p$-值 Hölder 空间 $\mathcal{C}_p^\delta$，从而建立了完整的 Schauder 型估计。
• 当 $\delta p > d$ 时，解存在几乎必然的 Hölder 连续版本，这由在 $L^p(\Omega)$-值设定下应用 Kolmogorov 连续性定理所保证。
• 本文证明了在 $\mathcal{C}_p^\delta$ 空间中的可解性定理，表明在所提出的抛物性条件下，解的存在性与唯一性成立。
• 在模型系统中，当 $A = \text{diag}(1+\lambda^2, 1+\mu^2)$，$B = \begin{bmatrix} 0 & -\mu \\ \lambda & 0 \end{bmatrix}$ 时，若 $\varepsilon = \lambda^2 + (p-1)\mu^2 - 2 > 0$，则当 $t > 2/\varepsilon$ 时，解的 $L^p$-范数为无穷大，从而证实了该条件的尖锐性。