[论文解读] Stochastic control for a class of nonlinear kernels and applications

Dylan Possamaï, Xiaolu Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 79被引用 61

一句话总结

该论文为由倒向随机微分方程（BSDEs）表示的非线性核的随机控制建立了动态规划原理，实现了对值函数的半 martingale 特征化。论文证明了在不假设生成器或终端条件具有正则性的情况下，二阶 BSDE 的适定性，推导出一种鲁棒的可选分解，并在附加正则性条件下将值函数与路径相关 PDE 的粘性解联系起来。

ABSTRACT

We consider a stochastic control problem for a class of nonlinear kernels. More precisely, our problem of interest consists in the optimisation, over a set of possibly non-dominated probability measures, of solutions of backward stochastic differential equations (BSDEs). Since BSDEs are nonlinear generalisations of the traditional (linear) expectations, this problem can be understood as stochastic control of a family of nonlinear expectations, or equivalently of nonlinear kernels. Our first main contribution is to prove a dynamic programming principle for this control problem in an abstract setting, which we then use to provide a semi-martingale characterisation of the value function. We next explore several applications of our results. We first obtain a wellposedness result for second order BSDEs (as introduced in [86]) which does not require any regularity assumption on the terminal condition and the generator. Then we prove a nonlinear optional decomposition in a robust setting, extending recent results of [71], which we then use to obtain a super-hedging duality in uncertain, incomplete and nonlinear financial markets. Finally, we relate, under additional regularity assumptions, the value function to a viscosity solution of an appropriate path-dependent partial differential equation (PPDE).

研究动机与目标

• 在非主导概率测度的非线性核背景下，为随机控制发展一个动态规划原理。
• 通过半 martingale 分解表征此类控制问题的值函数。
• 在不需对终端条件或生成器施加正则性假设的条件下，建立二阶 BSDE 的适定性。
• 推导出一种鲁棒的可选分解定理，扩展了先前在不确定和不完全市场中的结果。
• 在附加正则性假设下，将控制问题的值函数与适当路径相关 PDE 的粘性解联系起来。

提出的方法

• 通过 BSDE 表征，将可测选择与粘贴技术推广至非线性随机核。
• 在抽象设定中应用动态规划原理，利用条件非线性期望。
• 使用半 martingale 分解，将值函数表征为局部 martingale 加上有限变差过程。
• 应用具有 Lipschitz 生成器和有界终端条件的 BSDE 的比较与稳定性结果。
• 采用 Doléans-Dade 指数和 Itô 公式，推导超解的比较原理。
• 依赖先验估计与一致可积性，证明在停止时间极限下解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非线性 BSDE 背景下，为非主导测度上的随机控制严格建立动态规划原理？
• RQ2 此类控制问题的值函数如何表征为半 martingale？
• RQ3 在不假设生成器或终端条件具有正则性的情况下，二阶 BSDE 在何种条件下是适定的？
• RQ4 在缺乏主导测度的条件下，能否推导出鲁棒的可选分解？
• RQ5 控制问题的值函数是否为某个适当路径相关 PDE 的粘性解？

主要发现

• 动态规划原理在由 BSDE 表征的非线性核的随机控制中成立，即使在非主导设定下亦然。
• 值函数具有半 martingale 分解，为最优控制问题提供了概率表征。
• 在不假设终端条件或生成器具有正则性的情况下，二阶 BSDE 是适定的，扩展了先前结果。
• 推导出一种鲁棒的可选分解，推广了早期结果，并在不确定和不完全市场中实现了超对冲对偶性。
• 在一致连续性和有界性假设下，值函数是有界一致连续函数空间中路径相关 PDE 的唯一粘性解。
• 通过一致可积性与控制收敛定理，结合先验估计与比较原理，建立了在停止时间下解的收敛性。