[论文解读] Stochastic Control of a SIR Model with Non-linear Incidence Rate Through Euclidean Path Integral

Paramahansa Pramanik|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2022

COVID-19 epidemiological studies被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种具有非线性传播率的随机SIR模型，采用费曼路径积分控制方法，以优化新冠疫情暴发期间的封锁强度与疫苗接种率。通过路径积分方法推导出类似福克-普朗克方程的方程，证明在完全信息条件下存在唯一不动点，并基于模拟与英国数据表明，更高的扩散系数导致感染曲线呈现遍历性，而最优控制则能有效降低饱和效应下的传播。

ABSTRACT

This paper utilizes a stochastic Susceptible-Infected-recovered (SIR) model with a non-linear incidence rate to perform a detailed mathematical study of optimal lock-down intensity and vaccination rate under the COVID-19 pandemic environment. We use a Feynman-type path integral control approach to determine a Fokker-Plank type equation of this system. Since we assume the availability of information on the COVID-19 pandemic is complete and perfect, we can show a unique fixed point. A non-linear incidence rate is used because, it can be raised from saturation effects that if the proportion of infected agents is very high so that exposure to the pandemic is inevitable, then the transmission rate responds slower than linearity to the increase in the number of infections. The simulation study shows that with higher diffusion coefficients susceptible and recovery curves keep the downward trends while the infection curve becomes ergodic. Finally, we perform a data analysis using UK data at the beginning of 2021 and compare it with our theoretical results.

研究动机与目标

• 使用随机SIR框架，对新冠疫情暴发期间的封锁强度与疫苗接种率进行最优控制建模。
• 基于饱和效应引入非线性传播率，反映在感染流行率较高时传播速度减缓的现象。
• 应用类费曼路径积分控制方法，推导出用于动态优化的类似福克-普朗克方程。
• 利用2021年3月英国数据验证模型，并将理论结果与现实趋势进行对比。
• 证明在完全信息条件下，最优控制会导致早期高强度封锁，随后迅速放松。

提出的方法

• 采用具有非线性传播率 $\beta SI/(1 + \rho I)$ 的随机SIR模型，以反映传播中的行为饱和效应。
• 应用受量子力学启发的路径积分控制公式，采用二次成本函数与前向动力学。
• 通过渐近展开与高斯积分推导出类似福克-普朗克方程，用于建模转移概率密度的演化。
• 求解类似福克-普朗克方程的一阶条件，推导出封锁强度与疫苗接种率的最优控制策略。
• 假设风险规避的主体拥有完全且准确的信息，使控制系统的唯一不动点得以确立。
• 采用基于蒙特卡洛的路径积分方法，规避高维偏微分方程求解，实现控制问题的数值求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有随机性的SIR模型中，非线性传播率如何影响疫情管理的最优控制策略？
• RQ2 扩散系数对感染、易感与康复曲线的遍历性与形态有何影响？
• RQ3 类费曼路径积分方法能否导出适用于随机疫情控制的可处理且具有解析意义的福克-普朗克方程？
• RQ4 对疫情的完全信息如何影响封锁与疫苗接种的最优时机与强度？
• RQ5 该模型的理论预测在多大程度上与2021年初英国的真实数据相符？

主要发现

• 在时间区间初期，最优封锁强度迅速上升，随后迅速下降至接近零，反映出在完全信息条件下风险规避行为的特征。
• 更高的扩散系数使易感者与康复者曲线保持持续下降趋势，而感染曲线呈现遍历性，表明长期具有统计稳定性。
• 通过路径积分控制推导出的类似福克-普朗克方程在数学上等价于汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，从而支持动态优化。
• 该模型的理论预测与2021年3月英国数据高度吻合，验证了模型的实证相关性。
• 非线性传播率 $\beta SI/(1 + \rho I)$ 确保了凹形、生物学上合理的传播动态，且在高感染流行率下传播速度减缓。
• 一阶条件的解给出了封锁强度与疫苗接种率的唯一最优控制策略，证实了在完全信息条件下系统的稳定性。