[论文解读] Stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations on general Unbounded Domains

Manil T. Mohan, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用 19

一句话总结

该论文通过使用随机Minty-Browder技巧和Sobolev与Lebesgue空间中的谱逼近方法，建立了在无界区域上带有乘法高斯噪声的随机对流Brinkman-Forchheimer方程路径唯一强解的存在性，并证明了能量等式。研究进一步证明了在大粘性系数条件下系统具有指数稳定性、遍历性以及强混合性，将正则性和长时间行为结果推广至无界情形。

ABSTRACT

The stochastic convective Brinkman-Forchheimer (SCBF) equations in an open connected set $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}^d$ ($d\in \{2,3,4\}$) or torus are considered in this work. We show the existence of a pathwise unique strong solution (in the probabilistic sense) satisfying the energy equality (Itô formula) to SCBF equations perturbed by multiplicative Gaussian noise. We exploited a monotonicity property of the linear and nonlinear operators as well as a stochastic generalization of the Minty-Browder technique in the proofs. The energy equality is obtained by approximating the solution using approximate functions constituting the elements of eigenspaces of a compact operator in such a way that the approximations are bounded and converge in both Sobolev and Lebesgue spaces simultaneously. We further discuss the global in time regularity results of such strong solutions on the torus. The exponential stability results (in mean square and pathwise sense) for the stationary solutions is also established in this work for large effective viscosity. Moreover, a stabilization result of the stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations by using a multiplicative noise is obtained. Finally, when $\mathcal{O}$ is a bounded domain, we establish the existence of a unique invariant measure for the SCBF equations with multiplicative Gaussian noise, which is both ergodic and strongly mixing, using the exponential stability of strong solutions.

研究动机与目标

• 在无界区域上，针对带有乘法高斯噪声的随机对流Brinkman-Forchheimer方程，建立强解的存在性与唯一性。
• 通过Sobolev空间与Lebesgue空间中的谱逼近方法，严格证明解的能量等式（Itô公式）。
• 在有效粘性系数较大时，分析平稳解在均方和路径意义下的全局正则性与指数稳定性。
• 证明乘法噪声可使系统稳定，并证明存在唯一、遍历且强混合的不变测度。

提出的方法

• 采用Minty-Browder技巧的随机推广方法，以建立强解的存在性与唯一性。
• 利用Stokes算子的特征函数进行谱逼近，确保在Sobolev空间与Lebesgue空间中的一致有界收敛性。
• 应用能量估计与Gronwall型不等式，推导出均方意义下的指数衰减与路径意义下的稳定性。
• 将强解的指数稳定性作为关键要素，用于证明唯一不变测度的存在性。
• 应用Feller性质与分布收敛性，建立不变测度的遍历性与强混合性。
• 依赖于随机设定下线性与非线性算子的单调性，以控制非线性项并确保解的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域上带有乘法噪声的随机对流Brinkman-Forchheimer方程是否存在路径唯一强解？
• RQ2 能否通过谱逼近方法严格建立此类解的能量等式（Itô公式）？
• RQ3 在何种条件下系统在均方与路径意义下表现出指数稳定性？
• RQ4 乘法噪声是否能稳定系统？若能，其在何种粘性系数条件下成立？
• RQ5 该随机系统是否存在唯一、遍历且强混合的不变测度？

主要发现

• 在无界区域上，随机对流Brinkman-Forchheimer方程存在路径唯一强解，且满足能量等式。
• 当有效粘性系数满足 $\mu > \frac{2\eta + L}{\lambda_1}$ 时，解在均方与路径意义下均表现出指数稳定性。
• 系统受乘法噪声稳定，且不变测度唯一、遍历且强混合。
• 当 $r > 3$ 时，在条件 $\mu > \frac{L}{\lambda_1}$ 下不变测度存在且唯一，并具有指数混合性。
• 在周期性区域上，强解的全局正则性得以确立，将已知结果推广至无界设定。
• 解的转移半群 $\mathrm{P}_t\varphi(\mathbf{u}_0)$ 以指数速度收敛至不变测度，证实了强混合性。