[论文解读] Stochastic differential equations with non-lipschitz coefficients: I. Pathwise uniqueness and large deviation

Shizan Fang, Tusheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了满足对数霍尔德型条件的非利普希茨系数随机微分方程（SDEs）的路径唯一性以及弗雷德林-温特塞尔型大偏差原理。通过构造一族辅助函数 $(\Phi_\rho)$，作者克服了在非利普希茨情形下格朗沃尔不等式失效的问题，从而实现了强解的存在性以及对大偏差分析至关重要的指数矩估计，适用于有界与无界系数情形。

ABSTRACT

We study a class of stochastic differential equations with non-Lipschitzian coefficients.A unique strong solution is obtained and a large deviation principle of Freidln-Wentzell type has been established.

研究动机与目标

• 在漂移与扩散系数满足对数霍尔德条件时，建立SDEs的路径唯一性，从而弱化经典的利普希茨假设。
• 在系数满足 $|x|\log|x|$ 增长条件下，证明解不会爆炸。
• 为具有非利普希茨系数的小噪声SDE的极限，推导弗雷德林-温特塞尔型大偏差原理。
• 证明唯一强解可通过欧拉格式近似，并利用指数矩估计实现快速收敛。

提出的方法

• 引入一族正的、递增的函数 $(\Phi_\rho)_{\rho>0}$，重新加权伊藤过程，使在非利普希茨条件下仍可适用格朗沃尔型不等式。
• 利用函数 $\psi(\xi) = \int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}$ 与 $\Phi(\xi) = e^{\psi(\xi)}$ 控制 $|X_t|^2$ 的增长，并在 $|x|\log|x|$ 增长条件下证明解不会爆炸。
• 构造SDE的截断版本，采用有界系数 $b_R, \sigma_R$ 局域化问题，并在紧集上应用大偏差技术。
• 利用同一族函数 $\Phi_{\rho,\lambda}$ 证明欧拉近似中的指数矩估计，克服在非利普希茨情形下标准矩估计失效的问题。
• 通过压缩原理建立大偏差原理，证明解的分布满足弗雷德林-温特塞尔LDP，且具有良定义的速率函数 $I(f)$。
• 通过在速率函数的水平集上使用紧致性与连续性论证，证明 $I(\cdot)$ 为良速率函数，从而确保在无界系数情形下LDP成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数满足对数霍尔德条件而非标准利普希茨条件时，SDEs的路径唯一性是否仍成立？
• RQ2 尽管由于非利普希茨连续性导致皮卡德迭代失效，是否仍可为这类SDEs构造强解？
• RQ3 对于具有非利普希茨系数的SDEs，特别是小噪声极限下，是否成立弗雷德林-温特塞尔型大偏差原理？
• RQ4 在放宽的系数条件下，能否证明欧拉格式可指数快速收敛至真实解？
• RQ5 在无界系数情形下，SDE的大偏差原理的速率函数是否良定义且为良函数（即水平集紧致）？

主要发现

• 对于满足对数霍尔德条件 (H.1) 的SDEs，即使系数非利普希茨，路径唯一性仍成立，通过一族辅助函数 $\Phi_\rho$ 恢复格朗沃尔型估计。
• 在 $|x|\log|x|$ 增长条件下，解不会爆炸，其证明依赖于李雅普诺夫型函数 $\Phi(\xi) = \exp\left(\int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}\right)$，其中 $r(s) = \log s$。
• 对于小噪声SDE $dX^\varepsilon(t) = \varepsilon^{1/2} \sigma(X^\varepsilon(t)) dW_t + b(X^\varepsilon(t)) dt$，弗雷德林-温特塞尔型大偏差原理成立，且具有良速率函数 $I(f)$，该函数通过骨架方程定义。
• 通过证明对所有 $\alpha \geq 0$，集合 $\{f : I(f) \leq \alpha\}$ 是紧致的，利用局域化与解映射的连续性，证明 $I(f)$ 为良速率函数。
• 通过证明 $\mu_\varepsilon(C) \leq \mu_\varepsilon^R(C_R) + P(\sup_t |X^\varepsilon(t)| > R)$ 并令 $R \to \infty$，结合指数尾部估计，将大偏差原理从有界系数推广至无界系数情形。
• 唯一强解可作为欧拉近似的极限获得，且在给定的非利普希茨条件下，其收敛速度在 $L^1$ 意义下为指数级。