[论文解读] Stochastic Discontinuous Galerkin Methods with Low--Rank Solvers for Convection Diffusion Equations

Pelin Çi̇loğlu, Hamdullah Yücel|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 50被引用 4

一句话总结

本文提出一种结合低秩Krylov求解器的随机不连续伽辽金方法，以高效求解具有随机系数的对流-扩散方程。通过使用随机伽辽金方法将问题转化为确定性方程组，并对系统矩阵应用低秩近似，该方法在保持精度的同时显著降低了存储和计算成本，尤其适用于对流主导问题。

ABSTRACT

We investigate numerical behaviour of a convection diffusion equation with random coefficients by approximating statistical moments of the solution. Stochastic Galerkin approach, turning the original stochastic problem to a system of deterministic convection diffusion equations, is used to handle the stochastic domain in this study, whereas discontinuous Galerkin method is used to discretize spatial domain due to its local mass conservativity. A priori error estimates of the stationary problem and stability estimate of the unsteady model problem are derived in the energy norm. To address the curse of dimensionality of Stochastic Galerkin method, we take advantage of the low--rank Krylov subspace methods, which reduce both the storage requirements and the computational complexity by exploiting a Kronecker--product structure of system matrices. The efficiency of the proposed methodology is illustrated by numerical experiments on the benchmark problems.

研究动机与目标

• 解决具有随机系数的对流-扩散方程在随机伽辽金方法中的维数灾难问题。
• 开发一种结合随机伽辽金、不连续伽辽金和低秩Krylov求解器的数值框架，以提高计算效率。
• 为稳态问题提供能量范数下的先验误差估计，为非稳态问题提供稳定性估计。
• 展示低秩求解器在降低内存占用和CPU时间的同时保持解精度的有效性。

提出的方法

• 应用随机伽辽金方法将随机对流-扩散PDE转化为一组耦合的确定性对流-扩散方程。
• 采用不连续伽辽金方法进行空间离散化，以保证局部质量守恒和稳定性，尤其在对流主导区域。
• 利用Karhunen-Loève展开将随机系数表示为有限组不相关随机变量的组合。
• 采用低秩Krylov子空间方法（如LRPCG、LRPBiCGstab、LRPGMRES）求解随机伽辽金公式产生的大规模线性系统。
• 利用系统矩阵的Kronecker积结构以减少存储和计算复杂度。
• 应用基于均值的（P₀）和Ullmann基于的（P₁）预条件子以加速迭代求解器的收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 低秩Krylov求解策略如何缓解随机伽辽金离散化中的维数灾难问题？
• RQ2 相关长度对低秩解的秩和求解器性能有何影响？
• RQ3 在低秩形式下，不同Krylov求解器（如CG、BiCGstab、GMRES）在收敛性和计算成本方面有何比较？
• RQ4 所提方法能否在具有随机系数的稳态和非稳态对流-扩散问题中实现最优收敛率和稳定性？
• RQ5 基于均值和Ullmann的预条件子在加速低秩迭代求解器方面效果如何？

主要发现

• LRPGMRES求解器相较于其他低秩Krylov求解器表现出更优性能，尤其在对流主导问题中。
• 当相关长度ℓ = 1.5且N = 17时，低秩LRPCG方法耗时20,658.3秒（CPU时间），内存占用1,821 KB；而全秩PCG方法耗时41,345.0秒，内存占用54,720 KB。
• 与基于均值的预条件子（P₀）相比，Ullmann预条件子（P₁）显著减少了CPU时间，LRPCG在ℓ = 1.5时分别耗时20,658.3秒（P₀）和18,214.5秒（P₁）。
• 不同相关长度下的迭代次数保持稳定（4–5次），但随着相关长度减小，CPU时间和内存占用增加，原因在于所需秩更高。
• 低秩求解器的相对残差始终低于3e-4，表明尽管采用低秩近似，仍保持了良好的精度。
• 当相关长度ℓ = 3, 2, 1.5时，截断参数N = 9, 13, 17分别实现了超过97%的方差捕获，验证了截断策略的有效性。