[论文解读] Stochastic Dynamical Structure (SDS) of Nonequilibrium Processes in the Absence of Detailed Balance. III: potential function in local stochastic dynamics and in steady state of Boltzmann-Gibbs type distribution function

Ping Ao|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2008

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用 32

一句话总结

该论文通过一种新颖的随机微分方程形式，将漂移力分解为梯度分量与反对称分量，首次在无详细平衡的非平衡随机过程中建立了动力势函数的存在性。它推导出漂移力零点与稳态分布极值之间噪声诱导位移的首个解析公式，解决了非平衡统计力学中长期存在的模糊性问题，并通过去除限制性假设推广了先前的工作。

ABSTRACT

From a logic point of view this is the third in the series to solve the problem of absence of detailed balance. This paper will be denoted as SDS III. The existence of a dynamical potential with both local and global meanings in general nonequilibrium processes has been controversial. Following an earlier explicit construction by one of us (Ao, J. Phys. {\bf A37}, L25 '04, arXiv:0803.4356, referred to as SDS II), in the present paper we show rigorously its existence for a generic class of situations in physical and biological sciences. The local dynamical meaning of this potential function is demonstrated via a special stochastic differential equation and its global steady-state meaning via a novel and explicit form of Fokker-Planck equation, the zero mass limit. We also give a procedure to obtain the special stochastic differential equation for any given Fokker-Planck equation. No detailed balance condition is required in our demonstration. For the first time we obtain here a formula to describe the noise induced shift in drift force comparing to the steady state distribution, a phenomenon extensively observed in numerical studies. The comparison to two well known stochastic integration methods, Ito and Stratonovich, are made ready. Such comparison was made elsewhere (Ao, Phys. Life Rev. {\bf 2} (2005) 117. q-bio/0605020).

研究动机与目标

• 严格证明在缺乏详细平衡的非平衡过程中，动力势函数在局部与全局意义上同时存在的存在性。
• 解决关于势函数是否能一致描述此类系统中局部动力学与全局稳态行为的争议。
• 提供一种显式构造方法，将任意给定的福克-普朗克方程与具有势函数的相应随机微分方程联系起来。
• 推导出漂移力零点与稳态分布极值之间位移的定量公式，该现象虽已通过数值方法观察到，但此前缺乏解析处理。

提出的方法

• 引入一种特殊的随机微分方程（公式3），将漂移力分解为势函数的梯度与反对称横向分量。
• 通过 φ(q) = -M(q)f(q) 定义势函数，其中 M(q) = [D(q) + Q(q)]⁻¹，Q(q) 由 f(q) 和 D(q) 导出。
• 在零质量极限下推导出一种新型福克-普朗克方程，明确显示稳态分布与 exp(-φ(q)/ε) 成正比。
• 建立一种从任意给定福克-普朗克方程重构随机微分方程的程序，通过识别适当的 M(q)、S(q) 和 T(q) 矩阵实现。
• 使用 Ito 与 Stratonovich 积分约定对比分析，阐明噪声在漂移力位移中的作用。
• 证明反对称矩阵 Q(q) 决定了漂移力零点与势函数极值之间的位移，且无需额外约束如 ∇Q = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般非平衡过程中，即使缺乏详细平衡，动力势函数是否仍可能存在？
• RQ2 是否存在一种系统性方法，可从给定的福克-普朗克方程构造出相应的随机微分方程，使得其稳态分布呈玻尔兹曼-吉布斯形式且与势函数相关？
• RQ3 漂移力零点与稳态分布极值之间噪声诱导位移的解析起源是什么？
• RQ4 由 f(q) 和 D(q) 导出的反对称矩阵 Q(q) 如何影响局部动力学与全局稳态行为之间的关系？
• RQ5 在不假设 ∇Q = 0 或其他限制性条件的前提下，能否严格建立基于公式3的局部动力学与基于福克-普朗克方程的全局稳态行为之间的联系？

主要发现

• 该论文证明了动力势函数 φ(q) 的存在性，其既能通过公式(3)描述局部动力学，又能通过公式(7)描述全局稳态行为，即使在无详细平衡的情况下亦成立。
• 首次推导出漂移力零点与稳态分布极值之间噪声诱导位移的解析公式：Δf̄ = -ε(∇ₐₜₜₐQ(q))ᵀ，公式(44)。
• 该位移完全源于反对称矩阵 Q(q) 的梯度，而 Q(q) 依赖于确定性力 f(q) 与扩散矩阵 D(q)，且与 D(q) 是否为状态无关无关。
• 该构造方法无需采用先前工作（如 Eyink）所需的限制性条件 ∇Q = 0，因此推广了先前结果。
• 该形式表明，即使 D(q) 为常数（即 Ito 与 Stratonovich 处理结果一致），只要 Q(q) 为状态相关，仍可发生位移，从而解释了数值模拟中观察到的噪声诱导分岔现象。
• 该框架通过区分稳态分布极值与逃逸率动力学，调和了与逃逸路径奇异性之间的表观矛盾，表明该位移是随机积分与横向动力学的直接结果。