[论文解读] Stochastic equation and exponential ergodicity in Wasserstein distances for affine processes

Martin Friesen, Peng Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 54被引用 21

一句话总结

本文建立了在典型状态空间 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上保守仿射过程的路径唯一样本解构造，作为由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程的强解。此外，在跳跃测度的矩和对数矩条件下，证明了 Wasserstein 距离下的指数遍历性，这是首个针对具有状态相关和状态无关跳跃的一般仿射过程的此类结果。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of conservative affine processes on the canonical state space $D = $R_+^m imes \R^n$, where $m + n > 0$. We show that each affine process can be obtained as the pathwise unique strong solution to a stochastic equation driven by Brownian motions and Poisson random measures. Then we study the long-time behavior of affine processes, i.e., we show that under first moment condition on the state-dependent and log-moment conditions on the state-independent jump measures, respectively, each subcritical affine process is exponentially ergodic in a suitably chosen Wasserstein distance. Moments of affine processes are studied as well.

研究动机与目标

• 建立保守仿射过程作为随机微分方程强解的路径唯一样本解构造。
• 通过 Wasserstein 距离中的遍历性分析仿射过程的长期行为。
• 推导跳跃测度的充分条件——特别是矩和对数矩条件——以确保指数遍历性。
• 在这些条件下刻画仿射过程的矩和不变分布。
• 将现有关于遍历性的结果扩展至同时包含状态相关和状态无关跳跃的一般仿射过程。

提出的方法

• 将仿射过程构造为由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程的唯一强解。
• 使用广义 Riccati 方程刻画过程的特征函数和生成元。
• 应用耦合技术和李雅普诺夫函数分析 Wasserstein 距离中的遍历性。
• 采用 Kantorovich 对偶性和凸性估计处理 Wasserstein 距离，以界定收敛速率。
• 引入两个李雅普诺夫函数：$V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ 和 $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$，以控制漂移和跳跃分量。
• 对 $\nu$ 和 $\mu_i$ 施加矩条件（例如，$\int_{|\xi|>1} (1 + |\xi| + |\xi|^\kappa) \nu(d\xi) < \infty$），以确保矩有限性和遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上的保守仿射过程能否表示为由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程的路径唯一样本解？
• RQ2 在何种跳跃测度条件下，亚临界仿射过程在 Wasserstein 距离下表现出指数遍历性？
• RQ3 状态相关和状态无关的跳跃分量如何影响仿射过程的长期行为？
• RQ4 哪些李雅普诺夫函数可用于量化收敛到不变分布的速率？
• RQ5 能否使用耦合和对偶技术界定转移核之间的 Wasserstein 距离？

主要发现

• 证明了 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上的仿射过程是由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程的路径唯一样本解。
• 在跳跃测度满足一阶矩和对数矩条件时，亚临界仿射过程在 Wasserstein 距离 $d_\kappa$ 或 $d_{\log}$ 下具有指数遍历性。
• 收敛速率通过李雅普诺夫函数 $V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ 和 $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$ 量化，这些函数控制漂移和跳跃分量。
• 本文证明了 $\mathcal{W}_d(P_t(x, \cdot), \pi) \leq C e^{-\lambda t}$ 对某个 $\lambda > 0$ 成立，从而确立了指数遍历性。
• 结果可推广至同时包含状态相关和状态无关跳跃的一般仿射过程，包括 CBI 和 OU 型过程。
• 分析中使用 Kantorovich 对偶性和凸性估计来界定转移核之间的 Wasserstein 距离，为长期行为分析提供了稳健的框架。