[论文解读] Stochastic equations with delay: optimal control via BSDEs and regular solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marco Fuhrman, Federica Masiero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出一种倒向随机微分方程（BSDE）方法，通过将状态过程重新表述为连续函数空间上的马尔可夫过程，以求解具有延迟的随机微分方程（SDDE）的最优控制与定价问题。关键贡献在于：通过路径空间上HJB方程的温和解，表征了价值函数与对冲策略，将布莱克-斯科尔斯框架推广至具有记忆依赖性的系统。

ABSTRACT

We consider an Ito stochastic differential equation with delay, driven by brownian motion, whose solution, by an appropriate reformulation, defines a Markov process $X$ with values in a space of continuous functions $\mathbf C$, with generator $\mathcal L$. We then consider a backward stochastic differential equation depending on $X$, with unknown processes $(Y,Z)$, and we study properties of the resulting system, in particular we identify the process $Z$ as a deterministic functional of $X$. We next prove that the forward-backward system provides a suitable solution to a class of parabolic partial differential equations on the space $\mathbf C$ driven by $\mathcal L$, and we apply this result to prove a characterization of the fair price and the hedging strategy for a financial market with memory effects. We also include applications to optimal stochastic control of differential equation with delay: in particular we characterize optimal controls as feedback laws in terms the process $X$.

研究动机与目标

• 通过利用延迟状态过程的马尔可夫性质，解决具有延迟的随机微分方程（SDDE）的最优随机控制问题。
• 将控制问题的价值函数表征为路径空间上的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的解。
• 将BSDE方法扩展至无限维状态空间，特别是路径空间，以求解由延迟过程生成元驱动的抛物型PDE。
• 将该框架应用于具有记忆效应的金融市场，提供衍生品公平价格与对冲策略的表征。

提出的方法

• 将SDDE重新表述为取值于空间 $\mathbf{C} = C([-r,0]; \mathbb{R}^n)$ 上的马尔可夫过程 $X_t$，从而可在路径空间上使用扩散过程。
• 构建一个前向-后向随机微分系统（FBSDE），将前向SDDE与关于 $(Y,Z)$ 的后向方程耦合，其中 $Y_t = v(t,X_t)$ 且 $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$。
• 利用BSDE理论证明，解 $v(t,x)$ 满足在 $\mathbf{C}$ 上的半线性抛物型PDE，具体为 $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$，终端条件为 $v(T,x) = \phi(x)$。
• 通过 $\psi(t,x,z) = \inf_u \{ g(u) + z h(t,x,u) \}$ 定义哈密顿量，以建立控制问题与HJB方程之间的联系。
• 通过伊t-戈里辛定理引入风险中性测度，将动态转换为新测度下的鞅，从而将该框架应用于具有记忆效应的金融模型。
• 证明公平价格与对冲策略由 $V_0 = v(0,s)$ 与 $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$ 唯一确定，其中 $v$ 是HJB方程 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$，$v(T,x) = \phi(x)$ 的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用倒向随机微分方程（BSDE）表征具有延迟的随机微分方程的最优控制问题？
• RQ2 路径空间上前向-后向系统解与无限维设置下哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程解之间的关系是什么？
• RQ3 如何利用BSDE与HJB框架推导具有记忆效应的金融市场的衍生品公平价格与对冲策略？
• RQ4 在连续路径空间上，HJB方程的温和解的存在性与唯一性需满足何种条件？
• RQ5 该框架能否通过将路径相关（记忆）效应嵌入无限维状态空间 $\mathbf{C}$，将经典布莱克-斯科尔斯方程推广至包含记忆效应？

主要发现

• 最优控制问题的价值函数 $v(t,x)$ 与HJB方程 $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$ 的解一致，其中终端条件为 $v(T,x) = \phi(x)$，且 $\psi$ 通过控制动作的下确界定义。
• BSDE中的过程 $Z_t$ 被识别为 $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$，表明控制可表示为关于当前路径 $X_t$ 的反馈律。
• 衍生品 $\phi(S_{T+\cdot})$ 的公平价格由 $V_0 = v(0,s)$ 给出，其中 $v$ 是HJB方程 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$，$v(T,x) = \phi(x)$ 的解，且在风险中性测度下成立。
• 对冲策略被表征为 $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$，其为标的资产当前路径的泛函。
• 证明了解 $v$ 是HJB方程的温和解，从而在系数满足适当的正则性与有界性条件时，确保了问题的适定性。
• 该框架通过将路径相关动态嵌入无限维状态空间 $\mathbf{C}$，将经典布莱克-斯科尔斯模型推广至包含记忆效应的系统。