[论文解读] Stochastic equations with singular drift driven by fractional Brownian motion

Oleg Butkovsky, Khoa Lê+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

该论文通过一种新颖的随机缝合引理，建立了分数布朗运动（fBm）驱动的带奇异漂移项的随机微分方程的弱解存在性与强适定性。证明了最优条件：当漂移项属于 $ L_p $ 时，$ \frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1 $；当漂移项为Radon测度时，$ H < \frac{1}{d+1} $，并通过反例验证了条件的最优性，将Krylov-Röckner的经典结果推广至非马氏的fBm设定。

ABSTRACT

We consider stochastic differential equation $$ d X_t=b(X_t) dt +d W_t^H, $$ where the drift $b$ is either a measure or an integrable function, and $W^H$ is a $d$-dimensional fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(0,1)$, $d\in\mathbb{N}$. For the case where $b\in L_p(\mathbb{R}^d)$, $p\in[1,\infty]$ we show weak existence of solutions to this equation under the condition $$ \frac{d}p&lt;\frac1H-1, $$ which is an extension of the Krylov-Röckner condition (2005) to the fractional case. We construct a counter-example showing optimality of this condition. If $b$ is a Radon measure, particularly the delta measure, we prove weak existence of solutions to this equation under the optimal condition $H&lt;\frac1{d+1}$. We also show strong well-posedness of solutions to this equation under certain conditions. To establish these results, we utilize the stochastic sewing technique and develop a new version of the stochastic sewing lemma.

研究动机与目标

• 将适用于布朗运动的Krylov-Röckner条件推广至赫斯特参数 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动情形。
• 在最优条件下，证明当漂移项 $ b $ 属于 $ L_p(\mathbb{R}^d) $ 或有限 signed Radon 测度时，解的弱存在性。
• 通过构造反例，证明所推导条件的最优性。
• 提出一种新的随机缝合引理版本，放宽了对增量过程高阶矩的假设，从而能够分析非半鞅噪声。
• 在适当条件下，建立一维情形下的强适定性。

提出的方法

• 作者提出一种新型的罗申达尔型随机缝合引理，放宽了对增量过程高阶矩的假设，从而能够分析不规则的fBm路径。
• 应用随机缝合技术，控制带有奇异漂移的SDE近似解的收敛性。
• 对于 $ L_p $ 漂移项，方法依赖于矩估计与插值，推导出条件 $ \frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1 $。
• 对于Radon测度漂移项（包括Dirac函数），方法利用局部时正则性，并通过光滑逼近来定义积分 $ \int b(X_t)dt $。
• 通过构造一个在 $ L_p $ 中具有奇异漂移且满足 $ \frac{d}{p} \geq \frac{1}{H} - 1 $ 的反例，证明此时解不存在，从而验证条件的最优性。
• 在一维情形下，利用路径唯一性与新缝合引理，控制漂移项的不规则性，完成强适定性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于分数布朗运动驱动的SDE，漂移项 $ b $ 与赫斯特参数 $ H $ 的最优条件是什么，以保证弱解的存在性？
• RQ2 Krylov-Röckner条件能否从布朗运动情形推广至分数布朗运动情形？若能，其形式如何？
• RQ3 对于 $ L_p $ 漂移项，所推导的条件 $ \frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1 $ 是否最优？能否通过反例证明？
• RQ4 当 $ b $ 为Radon测度（特别是Dirac测度）时，弱解存在的最优条件是什么？
• RQ5 在新框架下，能否在一维情形下建立强适定性？

主要发现

• 在条件 $ \frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1 $ 下，对于 $ b \in L_p(\mathbb{R}^d) $，证明了解的弱存在性，且通过反例表明该条件为最优。
• 当 $ b $ 为有限 signed Radon 测度时，在最优条件 $ H < \frac{1}{d+1} $ 下，弱存在性成立，包括Dirac测度情形。
• 论文构造了一个反例，表明当 $ \frac{d}{p} \geq \frac{1}{H} - 1 $ 时，存在某个 $ b \in L_p $ 使得解不存在，从而证明该条件是严格的。
• 提出了一种新的随机缝合引理，放宽了矩假设，使得能够分析非半鞅噪声（如fBm）。
• 在一维情形下，在特定条件下证明了强适定性，将路径唯一性推广至fBm设定。
• 作为副产品，作者给出了经典结果的直接证明：当 $ Hd < 1 $ 时，$ W^H $ 具有联合连续的局部时间，并将其推广至 $ H(d+1) < 1 $ 的情形，适用于fBm与有界变差过程之和。