[论文解读] Stochastic evolutionary p-Laplace equation: Large Deviation Principles and Transportation Cost Inequality

R. Kavin, Ananta K. Majee|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

该论文通过弱收敛方法与Girsanov变换，为带小乘性噪声的随机演化p-Laplace方程的强解建立了大偏差原理（LDP）与二次运输成本不等式（TCI）。关键贡献在于：通过骨架方程分析证明LDP，通过L¹-收缩与Girsanov技术证明TCI，结果在具有Lipschitz边界有界域上对p > 2成立。

ABSTRACT

In this paper, we establish large deviation principle for the strong solution of evolutionary p-Laplace equation driven by small multiplicative Brownian noise, where the weak convergence approach plays a key role. Moreover, by using Girsanov transformation along with $L^1$-contraction approach, we show the quadratic transportation cost inequality for the strong solution of the underlying problem.

研究动机与目标

• 为受小乘性布朗运动噪声扰动的随机演化p-Laplace方程的强解建立大偏差原理（LDP）。
• 利用Girsanov变换与L¹-收缩技术，证明同一方程的二次运输成本不等式（TCI）。
• 通过半离散时间格式与分数阶Sobolev空间中的先验估计，克服单调性缺失与指数等价性不适用的问题。
• 通过时间离散化与紧嵌入论证，证明骨架方程的适定性，确保LDP的理论基础。
• 将弱收敛方法推广至非单调SPDE，尤其适用于具有非线性漂移与扩散项且p > 2的情形。

提出的方法

• 采用弱收敛方法证明大偏差原理，依赖于由原始SPDE导出的骨架方程的适定性。
• 使用半离散时间格式构造近似解，并在分数阶Sobolev空间中应用先验估计以保证紧致性。
• 利用L¹-收缩方法证明骨架方程的路径唯一性，这对基于弱收敛的LDP至关重要。
• 应用Girsanov变换改变概率测度，将原解与新测度下的参考过程关联。
• 利用L¹-收缩方法控制不同控制下解之间的差异，从而实现TCI的推导。
• 结合Itô等距、Hölder不等式与控制收敛定理，估计解之间L¹-差的平方，导出Grönwall型估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有p > 2、非线性通量与扩散项的随机演化p-Laplace方程，能否建立大偏差原理？
• RQ2 在小噪声扰动下，强解是否满足二次运输成本不等式？
• RQ3 弱收敛方法能否适用于非单调SPDE，其中指数等价性不成立？
• RQ4 骨架方程在适当的解空间中是否适定？其是否可通过弱收敛支持LDP？
• RQ5 L¹-收缩性质在证明此类SPDE类的TCI中起何作用？

主要发现

• 通过弱收敛方法，大偏差原理在解空间 $\mathcal{Z} = C([0,T];L^2(D)) \cap L^p([0,T];W_0^{1,p}(D))$ 中对强解成立。
• 与LDP相关的骨架方程适定，其存在性通过时间离散化与紧嵌入证明，唯一性通过L¹-收缩原理建立。
• 通过Girsanov变换与L¹-收缩方法，建立了二次运输成本不等式，表明解的分布相对于Wiener测度满足TCI。
• TCI的证明依赖于对不同控制下解之间L¹-差的有界性控制，导出如下Grönwall型估计：$\sup_{0\leq t\leq T}\mathbb{E}^{*}\left[\left(\int_D |u(t)-u^g(t)|\,dx\right)^2\right] \leq C\,\mathbb{E}^{*}\left[\int_0^T g^2(s)\,ds\right]$。
• 在能量估计中关键项（如 $\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_4$）当 $\vartheta \to 0$ 时趋于零，其严格性通过控制收敛定理与一致有界性得到保证。
• 结果适用于 $p > 2$，具有Lipschitz边界的有界域 $D \subset \mathbb{R}^d$，以及对通量 $\vec{f}$ 与扩散 $H$ 函数的标准假设。