[论文解读] Stochastic Exponential Integrators for a Finite Element Discretization of SPDEs

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|May 28, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有加法时空噪声的半线性抛物型SPDE的有限元空间半离散化问题的随机指数积分格式，利用噪声的线性泛函及通过Krylov或Léja方法计算矩阵指数。与标准格式相比，该方法在均方$L^2$和$H^1$范数下实现了更高阶的收敛性，并在多孔介质中的线性和非线性对流-扩散-反应问题上展示了高效性与准确性。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of general semilinear parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by additive space-time noise. In contrast to the standard time stepping methods which uses basic increments of the noise and the approximation of the exponential function by a rational fraction, we introduce a new scheme, designed for finite elements, finite volumes or finite differences space discretization, similar to the schemes in \cite{Jentzen3,Jentzen4} for spectral methods and \cite{GTambue} for finite element methods. We use the projection operator, the smoothing effect of the positive definite self-adjoint operator and linear functionals of the noise in Fourier space to obtain higher order approximations. We consider noise that is white in time and either in $H^1$ or $H^2$ in space and give convergence proofs in the mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and in mean square $ H^{1}$ norm in the presence of an advection term. For the exponential integrator we rely on computing the exponential of a non-diagonal matrix. In our numerical results we use two different efficient techniques: the real fast \Leja points and Krylov subspace techniques. We present results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation motivated from realistic porous media flow.

研究动机与目标

• 开发适用于具有加法噪声的SPDE的高阶时间推进格式，采用有限元空间半离散化。
• 通过在傅里叶空间中使用噪声的线性泛函，突破标准时间积分格式中的阶数降低障碍。
• 利用Krylov子空间与Léja点技术，实现非对角系统中矩阵指数的高效计算。
• 将指数积分格式方法从谱方法推广至有限元和有限体积等灵活的空间半离散化方法。
• 在真实SPDE问题上验证该方法，包括在非均质多孔介质中的随机对流-扩散-反应方程。

提出的方法

• 该格式采用涉及半群$S(t) = e^{tA}$的弱解形式，通过指数积分求积规则进行时间积分。
• 在傅里叶空间中应用噪声的线性泛函以实现更高阶精度，避免使用标准的维纳增量。
• 时间半离散化采用算子$A_h$的$\varphi$-函数$\varphi_0, \varphi_1$，通过Krylov子空间或实数快速Léja点方法计算。
• 空间半离散化采用一致有限元或有限体积方法，通过投影技术弱施加狄利克雷边界条件。
• 对于非线性项，采用半隐式处理$F(X)$，其中$F$满足利普希茨连续与增长条件。
• 该格式采用自适应时间步长，并将矩阵指数计算的绝对误差容忍度设为$10^{-6}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数积分格式能否在具有加法噪声的SPDE有限元半离散化中实现时间方向的更高阶收敛？
• RQ2 与标准Euler-Maruyama格式相比，使用噪声的线性泛函如何提升收敛性？
• RQ3 能否在有限元方法中产生的非对角算子上高效实现矩阵指数计算？
• RQ4 该格式在具有对流与反应项的非均质多孔介质中的非线性SPDE上的性能如何？
• RQ5 在低正则性初值及$H^1$或$H^2$范数下的粗糙噪声条件下，该方法是否保持稳定性和准确性？

主要发现

• 该格式在$H^2$-正则噪声下，$L^2$范数的均方收敛阶为$1/4$；在$H^1$-正则噪声下，$H^1$范数的均方收敛阶也为$1/4$。
• 与标准半隐式Euler-Maruyama格式相比，指数积分格式（SETD1）即使具有相同的收敛阶，仍表现出更优的精度。
• 对于线性反应-扩散方程，当无噪声时，该方法能精确恢复解析解，验证了其相容性。
• 在具有非均质渗透率的非线性对流-扩散-反应问题中，该格式在佩克莱特数$16.58$下保持稳定与收敛。
• 在$\varphi_0$计算中，Léja点方法相比Krylov子空间技术在CPU时间上表现出轻微的效率优势。
• 数值结果证实，无论在均质还是非均质介质中，时间方向的收敛率均接近$1/4$，验证了理论估计。