[论文解读] Stochastic filtering via L2 projection on mixture manifolds with computer algorithms and numerical examples

John Armstrong, Damiano Brigo|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用 12

一句话总结

本文提出一种在混合分布流形上基于L²投影的非线性随机滤波方法，利用直接L²度量将Kushner–Stratonovich SPDE投影到正态混合分布的有限维族上。结果表明，L²正态混合滤波器在相同参数数量下，其精度与粒子方法相当或更优，且对多项式系统具有解析可解性，在计算效率上优于基于Hellinger距离的指数族滤波器。

ABSTRACT

We examine some differential geometric approaches to finding approximate solutions to the continuous time nonlinear filtering problem. Our primary focus is a new projection method for the optimal filter infinite dimensional Stochastic Partial Differential Equation (SPDE), based on the direct L2 metric and on a family of normal mixtures. We compare this method to earlier projection methods based on the Hellinger distance/Fisher metric and exponential families, and we compare the L2 mixture projection filter with a particle method with the same number of parameters, using the Levy metric. We prove that for a simple choice of the mixture manifold the L2 mixture projection filter coincides with a Galerkin method, whereas for more general mixture manifolds the equivalence does not hold and the L2 mixture filter is more general. We study particular systems that may illustrate the advantages of this new filter over other algorithms when comparing outputs with the optimal filter. We finally consider a specific software design that is suited for a numerically efficient implementation of this filter and provide numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种在连续时间下数值高效且精确的非线性滤波问题近似方法。
• 探索在混合族上使用直接L²度量作为替代先前投影滤波器中使用的Hellinger距离/Fisher度量的方法。
• 利用Lévy度量比较L²混合滤波器与粒子方法及基于Hellinger的指数族滤波器的性能。
• 设计一种软件架构，以实现L²混合投影滤波器的高效实现。
• 建立L²投影滤波器与Galerkin方法之间的理论与数值联系。

提出的方法

• 该方法利用L²空间上的L²内积结构，将无限维的Kushner–Stratonovich SPDE投影到正态混合分布的有限维流形上。
• 通过将SPDE的随机向量场投影到混合流形的切空间上，推导出混合参数的有限维SDE。
• 对于正态混合分布，当混合族为简单形式时，L²投影滤波器与Galerkin方法一致；但对于更丰富的混合族，其适用范围更广。
• 数值实现采用一种支持通过解析积分高效计算转移密度与矩的软件设计，尤其适用于多项式系数。
• 通过Lévy度量评估性能，将滤波器输出分布与最优滤波器及粒子方法进行比较。
• 该方法利用多项式漂移与观测系数的解析积分，实现比基于蒙特卡洛的粒子滤波器更快的计算速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 L²混合流形上的投影滤波器能否为非线性滤波提供比粒子滤波器更精确且计算更高效的替代方案？
• RQ2 在Lévy残差与解析可解性方面，L²混合滤波器与基于Hellinger的指数族滤波器相比如何？
• RQ3 在何种条件下，L²混合滤波器退化为Galerkin方法？其在哪些方面更具一般性？
• RQ4 L²混合滤波器是否能以更少的参数数量实现比粒子方法更高的精度，以Lévy度量衡量？
• RQ5 何种软件架构能够支持L²混合滤波器在实际应用中的高效且稳定数值实现？

主要发现

• 在相同参数数量下，L²正态混合投影滤波器在Lévy度量下与粒子方法相比精度相当或更优，且在测试示例中优于最优的3粒子方法。
• 对于具有多项式系数的系统，L²混合滤波器中所有必需的积分均可解析计算，从而实现比基于蒙特卡洛的粒子滤波器更快、更稳定的计算。
• 仅当混合族为极简单形式时，L²混合滤波器才与Galerkin方法一致；对于更一般的混合族，其适用范围更广且更具灵活性。
• 在各类测试案例（线性、二次、三次传感器）中，L²混合滤波器均保持较低的Lévy残差，表现出鲁棒性与高精度。
• 软件设计通过利用解析矩计算与混合分量的结构化参数化，实现了高效实现。
• 在使用相同参数数量时，L²混合滤波器在Lévy残差方面显著优于粒子滤波器，表明其逼近质量更优。