[论文解读] Stochastic flows for Lévy processes with Hölder drifts

Zhen-Qing Chen, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 12

一句话总结

本文建立了由 Lévy 过程驱动的随机微分方程（SDEs）的强存在性与路径唯一性，其漂移项为 Hölder 连续函数，扩展了先前结果至漂移主导跳跃活动的超临界情形。证明了当 α-稳定型 Lévy 过程满足 α ∈ (0, 2)，且漂移项 b 有界且为 β-Hölder 连续（β ∈ (1 - α/2, 1)）时，SDE 存在唯一的强解，从而解决了 Priola（2011）提出的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic differential equation (SDE) in ${\mathbb R}^d$: $$ \mathrm{d} X_t= \mathrm{d} Z_t + b(t, X_t)\mathrm{d} t, \quad X_0=x, $$ where $Z$ is a Lévy process. We show that for a large class of Lévy processes ${Z}$ and Hölder continuous drift $b$, the SDE above has a unique strong solution for every starting point $x\in{\mathbb R}^d$. Moreover, these strong solutions form a $C^1$-stochastic flow. As a consequence, we show that, when ${Z}$ is an $α$-stable-type Lévy process with $α\in (0, 2)$ and $b$ is bounded and $β$-Hölder continuous with $β\in (1- α/{2},1)$, the SDE above has a unique strong solution. When $α\in (0, 1)$, this in particular solves an open problem from Priola \cite{Pr1}. Moreover, we obtain a Bismut type derivative formula for $ abla {\mathbb E}_x f(X_t)$ when ${Z}$ is a subordinate Brownian motion. To study the SDE above, we first study the following nonlocal parabolic equation with Hölder continuous $b$ and $f$: $$ \partial_t u+{\mathscr L} u+b\cdot abla u+f=0,\quad u(1, \cdot )=0, $$ where $\mathscr L$ is the generator of the Lévy process ${Z}$.

研究动机与目标

• 解决当漂移项非 Lipschitz 时，由纯跳跃 Lévy 过程驱动的 SDE 缺乏强存在性与路径唯一性结果的问题，特别是在超临界情形下。
• 将 Zvonkin 与 Veretennikov 类型变换的先前结果推广至与 Lévy 过程相关的非局部生成元，包括 α-稳定过程与子ordinated 布朗运动。
• 解决 Priola（2011）提出的问题：当驱动 Lévy 过程为 α ∈ (0, 1) 的 α-稳定过程时，时间依赖的 Hölder 连续漂移项下 SDE 的路径唯一性问题。
• 为子ordinated 布朗运动驱动的解的转移密度梯度建立一个 Bismut 类型的导数公式。
• 从唯一强解构造一个 C¹-随机微分同胚流，确保解对初值的光滑依赖性。

提出的方法

• 使用 Zvonkin 类型变换分析相关的非局部抛物型 PDE：∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0，其中 ℒ 是 Lévy 过程 Z 的生成元。
• 利用 Lévy 生成元的结构及 b 和 f 的 Hölder 连续性，建立该非局部 PDE 解的先验 Hölder 估计。
• 应用时间正则化与逼近方案，通过一系列具有光滑系数的 SDE 构造解，然后利用紧致性与收敛性论证取极限。
• 基于跳跃强度阈值使用停时论证，将过程的路径行为分解为大跳跃之间的区间。
• 应用 Gronwall 不等式与矩估计控制逼近过程之间的 L²-差，证明依概率收敛及子列几乎必然收敛。
• 在假设 Z 为子ordinated 布朗运动的前提下，通过分析解的 Malliavin 导数，推导出 ∇𝔼ₓf(Xₜ) 的 Bismut 类型导数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Z 为 α ∈ (0, 2) 的 α-稳定型 Lévy 过程，且 b 有界且为 β-Hölder 连续（β ∈ (1 - α/2, 1)）时，SDE dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt 是否存在唯一的强解？
• RQ2 能否为一般 Lévy 过程驱动的 Hölder 连续漂移 SDE 建立强存在性与路径唯一性，特别是在超临界情形（α ∈ (0, 1)）？
• RQ3 当驱动过程为子ordinated 布朗运动时，是否可以推导出 ∇𝔼ₓf(Xₜ) 的 Bismut 类型导数公式？
• RQ4 唯一强解能否构成一个 C¹-随机微分同胚流，从而保证对初值的光滑依赖性？
• RQ5 当 f 与 b 为 Hölder 连续且 ℒ 为 Lévy 过程生成元时，非局部抛物型 PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0 的解是否具有 Hölder 正则性？

主要发现

• 对于 α ∈ (0, 2) 的 α-稳定型 Lévy 过程，且漂移项 b 有界且为 β-Hölder 连续（β ∈ (1 - α/2, 1)），SDE dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt 对每个初值 x ∈ ℝᵈ 都存在唯一的强解。
• 当 α ∈ (0, 1) 时，该结果解决了 Priola（2011）中的一个开放问题，此前在超临界情形下尚未建立时间无关 Hölder 连续漂移的路径唯一性。
• 唯一强解构成一个 C¹-随机微分同胚流，意味着解映射 x ↦ Xₜ(x) 是连续可微的，且其导数存在联合可测版本。
• 当 Z 为子ordinated 布朗运动时，推导出 ∇𝔼ₓf(Xₜ) 的 Bismut 类型导数公式，为转移密度的梯度提供了估计。
• 为非局部抛物型 PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0 的解建立了先验 Hölder 估计，其界依赖于 f 与 b 的 Hölder 范数以及 Z 的 Lévy 测度。
• 通过矩估计与 Gronwall 不等式证明了逼近 SDE 序列的收敛性，确保极限几乎必然满足原 SDE。