[论文解读] Stochastic flows with reflection

Andrey Pilipenko|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究在正象限 ℝᵈ₊ 中的随机流，证明了流映射关于初值的 Sobolev 可微性，并建立了推前测度 μ∘φₜ⁻¹ 关于像集边界上 Hausdorff 测度的绝对连续性。关键贡献在于，在系数满足温和正则性和非退化条件下，即使轨迹在边界发生融合，流仍能保持测度的绝对连续性。

ABSTRACT

Some topological properties of stochastic flow $φ_t(x)$ generated by stochastic differential equation in a ${\mathbb R}^d_+$ with normal reflection at the boundary are investigated. Sobolev differentiability in initial condition is received. The absolute continuity of the measure-valued process $μ\circφ_t^{-1}$, where $μ\llλ^d,$ is studied.

研究动机与目标

• 分析半空间 ℝᵈ₊ 中法向反射随机流的拓扑与可微性性质。
• 研究从不同初值出发的轨迹行为，特别是其在边界处的融合现象。
• 通过首次 hitting 时间与 Hausdorff 测度，刻画流的像及其边界。
• 建立推前测度 μ∘φₜ⁻¹ 关于像集边界上 (d−1) 维 Hausdorff 测度的绝对连续性。
• 通过局部微分同胚与边界上的几何条件，将半空间中的结果推广至具有光滑边界的一般区域。

提出的方法

• 使用在边界 ∂ℝᵈ₊ = ℝᵈ⁻¹×{0} 处具有法向反射的随机微分方程，由 Wiener 过程驱动，并引入仅在过程触及边界时才增加的局部时间过程 ξ(t,x)。
• 应用 Kolmogorov 定理，对几乎处处的 ω，构造出 (t,x) 上流 (φₜ(x), ξ(t,x)) 的联合连续版本。
• 采用局部化技术，将半空间 ℝᵈ₊ 中的结果推广至具有 C² 边界且具有内法向反射的一般区域 G ⊂ ℝᵈ。
• 推导出投影到边界切空间的导数矩阵 Uₛₜ(x) 的秩条件，以保证推前测度的绝对连续性。
• 引入一个几何条件（导数矩阵投影的秩条件），确保推前测度关于边界上 Hᵈ⁻¹ 的绝对连续性。
• 利用仅在边界处发生融合，且从内部出发的轨迹在触及边界后与边界轨迹融合并共同移动的事实，分析像集 φₜ(ℝᵈ₊) 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机流 φₜ(x) 关于初值 x 是 Sobolev 可微的？
• RQ2 从不同初值出发的轨迹如何相互作用，特别是其融合行为？
• RQ3 像集 φₜ(ℝᵈ₊) 的边界结构如何？其与边界首次 hitting 时间有何关联？
• RQ4 在何种条件下，推前测度 μ∘φₜ⁻¹ 关于像集边界的 (d−1) 维 Hausdorff 测度是绝对连续的？
• RQ5 在边界上满足几何条件的前提下，ℝᵈ₊ 中的结果能否推广至具有光滑边界的区域？

主要发现

• 流 φₜ(x) 在 (t,x) 上联合连续，且对每个 t，属于 ∩ₚ>₁ W¹ₚ,loc(ℝᵈ₊, ℝᵈ)，即使系数仅为 Lipschitz 连续。
• 从 ℝᵈ₊ 内部不同点出发的轨迹在触及边界前不会碰撞；触及边界后发生融合并共同移动。
• 像集 φₜ(ℝᵈ₊) 的边界与 φₜ(∂ℝᵈ₊) = φₜ({x : τ(x) ≤ t}) 重合，且该集合在紧子集上具有有限的 (d−1) 维 Hausdorff 测度。
• 若投影导数矩阵几乎必然具有满秩 d−1，则推前测度 μ∘φₜ⁻¹ 关于像集边界的 Hᵈ⁻¹ 是绝对连续的。
• 在 ℝ² 中的单位圆盘上，当 t ≥ σ（σ 为布朗路径首次到达半径 2 的时刻）时，像集 φₜ(G) 变为无处稠密且等于其边界，且对 t ≥ σ，测度 μ∘φₜ⁻¹ 关于边界上 H¹ 是绝对连续的。
• 若边界包含两条互相垂直的线段，则绝对连续性条件不成立，因为这违反了导数矩阵投影的秩条件。