[论文解读] Stochastic Fusion of Interacting Particle Systems and Duality Functions

Jeffrey Kuan|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文提出随机融合（stochastic fusion），一种新颖方法，通过平稳测度与Rogers–Pitman纠缠关系，从排斥过程构建多粒子相互作用粒子系统。该方法建立了融合过程的马尔可夫对偶性，从而实现具有开放边界的一般对称与非对称排斥过程（包括非均匀与动态变体）的流体极限与平稳测度计算。

ABSTRACT

We introduce a new method, which we call stochastic fusion, which takes an exclusion process and constructs an interacting particle systems in which more than one particle may occupy a lattice site. The construction only requires the existence of stationary measures of the original exclusion process on a finite lattice. If the original exclusion process satisfies Markov duality on a finite lattice, then the construction produces Markov duality functions (for some initial conditions) for the fused exclusion process. The stochastic fusion construction is based off of the Rogers-Pitman intertwining. In particular, we have results for three types of models: 1. For symmetric exclusion processes, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those in \cite{GKRV}. The construction also allows a general class of open boundary conditions: as an application of the duality, we find the hydrodynamic limit and stationary measures of the generalized symmetric simple exclusion process SSEP$(m/2)$ on $\mathbb{Z}_+$ for open boundary conditions. 2. For the asymmetric simple exclusion process, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those found in \cite{CGRS} for the ASEP$(q,j)$. As a by-product of the construction, we show that the multi-species ASEP$(q,j)$ preserves $q$-exchangeable measures, and use this to find new duality functions for the ASEP, ASEP$(q,j)$ and $q$-Boson. Additionally, the construction leads to duality for ASEP with open boundary conditions. As an application of the latter duality, we find the hydrodynamic limit. 3. For dynamic models, we fuse the dynamic ASEP from \cite{BorodinDyn}, and produce a dynamic and inhomogeneous version of ASEP$(q,j)$. We also apply stochastic fusion to IRF models and compare them to previously found models. We include an appendix co-authored with Amol Aggarwal.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，从单粒子排斥过程系统性地构造允许多粒子占据同一格点的相互作用粒子系统。
• 利用Rogers–Pitman纠缠关系与原始过程的平稳测度，为所得融合过程建立马尔可夫对偶性。
• 将对偶性结果推广至非均匀、开放边界及动态版本的ASEP与SSEP，包括多物种与高自旋模型。
• 通过构造的对偶函数，推导广义排斥过程的流体极限与平稳测度。
• 通过与Aggarwal合著的附录，阐明代数结构与顶点模型之间的联系，将粒子系统的融合与随机顶点模型联系起来。

提出的方法

• 随机融合通过应用源自原始排斥过程平稳测度的随机纠缠矩阵，构造新过程。
• 该方法利用Rogers–Pitman纠缠关系，即在特定变换下，原始马尔可夫过程的函数可变为马尔可夫过程。
• 融合过程的对偶函数源自原始过程的对偶性，前提是原始过程在有限格点上满足马尔可夫对偶性。
• 该构造应用于对称排斥过程（SSEP）、非对称排斥过程（ASEP）及动态ASEP，得到非均匀推广形式。
• 对于动态模型，该方法生成动态且非均匀的ASEP(q,j)版本，且在q-交换测度下保持对偶性。
• 附录中通过q-恒等式与顶点模型权重，探讨其代数基础，将粒子系统融合与随机顶点模型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地发展一种方法，从单粒子排斥过程构造允许多粒子占据的相互作用粒子系统，同时保持对偶性？
• RQ2 当原始过程在有限格点上满足对偶性时，随机融合构造如何保持马尔可夫对偶性？
• RQ3 具有开放边界条件的广义对称与非对称排斥过程的流体极限与平稳测度是什么？
• RQ4 该融合方法如何推广至动态模型？动态ASEP(q,j)与q-Boson过程的新对偶函数是什么？
• RQ5 随机相互作用粒子系统中的随机融合与随机顶点模型中的融合之间存在何种代数关系？

主要发现

• 随机融合方法构造了一类新相互作用粒子系统，允许多个粒子占据同一格点，且仅依赖于原始排斥过程的平稳测度。
• 对于对称排斥过程，融合过程及其对偶函数是非均匀推广形式，源自[GKRV09]，在Z+上开放边界条件下，推导出SSEP(m/2)的流体极限与平稳测度。
• 对于非对称排斥过程，融合后的ASEP(q,j)保持q-交换测度，导出ASEP、ASEP(q,j)与q-Boson的新对偶函数，并实现半直线开放边界ASEP的流体极限计算。
• 动态ASEP(q,m)模型成功融合为动态且非均匀的ASEP(q,j)，通过为有限格点系统提出新颖假设，确立了对偶性。
• 该构造产生新的对偶函数，与[Agg18]中重参数化形式一致，确认与已知顶点模型融合结果的一致性。
• 分析了动力q-Boson模型的连续时间极限，表明其跳跃速率与非动力情况不同，且与[KMMO16]中已知恒等式的特例相匹配。