[论文解读] Stochastic Hamiltonian dynamical systems

Joan-Andreu Lázaro-Camí, Juan‐Pablo Ortega|ArXiv.org|Feb 26, 2007

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文利用全局随机分析工具，对泊松流形上的哈密顿动力学提出了随机推广，引入了一个关键作用量原理，全面刻画了随机哈密顿方程。该研究将经典变分原理推广至包含连续半鞅噪声的随机情形，并在随机设定下建立了稳定性与守恒定律的条件。

ABSTRACT

We use the global stochastic analysis tools introduced by P. A. Meyer and L. Schwartz to write down a stochastic generalization of the Hamilton equations on a Poisson manifold that, for exact symplectic manifolds, are characterized by a natural critical action principle similar to the one encountered in classical mechanics. Several features and examples in relation with the solution semimartingales of these equations are presented.

研究动机与目标

• 开发基于全局随机分析的非欧几里得相空间上随机哈密顿系统的几何框架。
• 将经典变分原理推广至随机设定，全面刻画随机哈密顿方程。
• 利用随机守恒定律与能量方法，建立几乎必然稳定性和概率稳定性标准。
• 通过随机哈密顿动力学，对具有内在随机性的复杂系统（如阻尼振子和流形上的布朗运动）进行建模。
• 通过将工具扩展至具有广义半鞅噪声的泊松与辛流形，统一随机力学与几何力学。

提出的方法

• 采用 P. A. Meyer 与 L. Schwartz 的全局随机分析框架，处理非欧几里得相空间。
• 通过连续半鞅建模随机动力学，不限于布朗运动，从而实现更广泛的应用。
• 利用伊藤与斯特拉托诺维奇随机微分方程及适当的算子，在泊松流形上定义随机哈密顿方程。
• 提出一个随机变分原理（定理 4.14），全面刻画随机哈密顿方程，推广了确定性情形下的临界作用量原理。
• 应用随机狄利克雷准则（定理 2.15），通过两种守恒量概念分析稳定性：一种用于几乎必然稳定性，一种用于概率稳定性。
• 依赖于斯特拉托诺维奇与伊藤表述之间的等价性，通过切丛与二阶切丛上斯特拉托诺维奇算子与施瓦茨算子之间的变换实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典哈密顿形式化推广至包含泊松流形上随机扰动的情形？
• RQ2 何种适当的随机变分原理能够全面刻画随机哈密顿动力学？
• RQ3 随机设定下的守恒量如何与几乎必然李雅普诺夫稳定性及概率稳定性等稳定性性质相关联？
• RQ4 随机哈密顿系统能否对阻尼与流形上的布朗运动等物理现象进行建模？
• RQ5 全局随机分析工具如何实现对称性下随机哈密顿系统的约化？

主要发现

• 泊松流形上的随机哈密顿方程由一个临界作用量原理完全刻画，推广了确定性情形。
• 解的半鞅保持辛叶，确保了随机演化中的几何一致性。
• 随机设定下存在两种不同的守恒量概念，使得可应用随机狄利克雷准则，从而得出几乎必然李雅普诺夫稳定性与概率稳定性。
• 阻尼振子可被解释为随机哈密顿系统解半鞅的平均运动，建立了随机动力学与宏观阻尼之间的联系。
• 流形上的布朗运动可作为定义在余切丛或正交标架丛上的简单哈密顿半鞅的投影而出现。
• 斯特拉托诺维奇与伊藤表述之间的等价性通过斯特拉托诺维奇算子与施瓦茨算子之间的变换得以确立，确保了随机建模的一致性。