[论文解读] Stochastic Hamiltonian flows with singular coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在临界正则性条件下建立了 ${\mathbb{R}}^{2d}$ 中具有奇异系数的随机哈密顿系统强解的存在性与唯一性：$b \in H^{2/3,0}_{p}$ 且 $\nabla\sigma \in L^p$，其中 $p > 2(2d+1)$，且 $\sigma$ 有界且一致非退化。证明了相应的流是一个随机同胚，且解映射具有关于初始数据的弱可微性，其梯度具有矩界，将 Krylov–Röckner 型结果推广至临界可微性指标的退化动能 SDE。

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic Hamiltonian system in ${\mathbb R}^{2d}$ (a second order stochastic differential equation), $$ d \dot X_t=b(X_t,\dot X_t)d t+σ(X_t,\dot X_t)d W_t,\ \ (X_0,\dot X_0)=(x,v)\in{\mathbb R}^{2d}, $$ where $b(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d$ and $σ(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$ are two Borel measurable functions. We show that if $σ$ is bounded and uniformly non-degenerate, and $b\in H^{2/3,0}_p$ and $ ablaσ\in L^p$ for some $p>2(2d+1)$, where $H^{α,β}_p$ is the Bessel potential space with differentiability indices $α$ in $x$ and $β$ in $v$, then the above stochastic equation admits a unique strong solution so that $(x,v)\mapsto Z_t(x,v):=(X_t,\dot X_t)(x,v)$ forms a stochastic homeomorphism flow, and $(x,v)\mapsto Z_t(x,v)$ is weakly differentiable with ess.$\sup_{x,v}E\left(\sup_{t\in[0,T]}| abla Z_t(x,v)|^q ight)

研究动机与目标

• 建立具有粗糙系数的退化随机哈密顿系统解的强唯一性与正则性。
• 将 Krylov–Röckner 型结果推广至临界可微性指标 $\alpha = \frac{2}{3}$ 与 $\beta = 0$ 的动能 SDE。
• 证明解映射构成一个具有关于初值弱可微依赖性的随机同胚流。
• 通过超位置原理，证明具有粗糙系数的动能 Fokker–Planck 方程的鞅问题适定。

提出的方法

• 使用 Zvonkin 变换对 SDE 进行正则化，并在存在奇异系数时控制漂移项。
• 应用 Krylov 的退化抛物方程先验估计以控制解及其梯度。
• 采用贝塞尔势空间 $H^{\alpha,\beta}_{p}$ 量化漂移 $b$ 与扩散 $\sigma$ 的正则性。
• 通过一种新颖的随机 Gronwall 型不等式，建立解流梯度的矩界。
• 依赖于超位置原理（Figalli, Trevisan），将鞅问题与 Fokker–Planck 方程联系起来。
• 使用极大函数估计与 Hölder 不等式，控制随机积分与梯度矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移 $b$ 具有临界正则性 $H^{2/3,0}_{p}$ 且 $\nabla\sigma \in L^p$ 时，随机哈密顿系统是否可能存在强解？
• RQ2 在这些条件下，解映射 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$ 是否构成一个随机同胚流？
• RQ3 解映射是否具有弱可微性，且其梯度范数具有有限矩？
• RQ4 具有粗糙系数的动能 Fokker–Planck 算子的鞅问题是否适定？
• RQ5 在这些假设下，超位置原理是否能保证动能 Fokker–Planck 方程的概率测度值解的唯一性？

主要发现

• 在给定的 $b$ 与 $\sigma$ 条件下，随机哈密顿系统存在唯一的强解。
• 解映射 $Z_t(x,v)$ 是 ${\mathbb{R}}^{2d}$ 上的随机同胚流。
• 映射 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$ 具有弱可微性，且对所有 $q \geq 1$ 与 $T \geq 0$，有 $\sup_{x,v} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,T]}|\nabla Z_t(x,v)|^q\right] < \infty$。
• 具有粗糙系数的动能 Fokker–Planck 方程存在唯一的概率测度值解，该结果通过鞅问题与超位置原理建立。
• 临界可微性指标 $\alpha = \frac{2}{3}$ 的 $b$ 被覆盖，扩展了以往要求 $\alpha > \frac{2}{3}$ 的结果。
• 该方法依赖于一种新型随机 Gronwall 不等式，以及通过 Zvonkin 变换与 Krylov 估计获得的梯度估计。