[论文解读] Stochastic Homogenization for Some Nonlinear Integro-Differential Equations

Russell W. Schwab|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文针对具有平稳遍历随机系数的一类广泛非线性积分微分方程，建立了随机均质化理论，证明了解在几乎处处意义下一致收敛于一个确定性的、平移不变的有效方程。关键贡献在于识别出有效方程，并通过带有可测成分的比较原理，严格验证了在非局部椭圆方程框架下的均质化过程，将周期性均质化结果推广至随机设定。

ABSTRACT

In this note we extend to the random, stationary ergodic setting previous results of periodic homogenization for a particular family of nonlinear nonlocal "elliptic" equations with oscillatory coefficients. Such equations include, but are not limited to Bellman equations and the Isaacs equations for the control and differential games of some pure jump processes. The existence of an effective equation and convergence the solutions of the family of the original equations is obtained. Even in the linear case of the equations contained herein the results appear to be new.

研究动机与目标

• 将非线性积分微分方程的周期性均质化结果推广至一般的平稳遍历设定。
• 建立并识别出一个确定性的、平移不变的有效方程，该方程控制解的极限行为。
• 证明在 ω 几乎处处、关于 x 一致地，解 u^ε 收敛于有效方程的解。
• 通过证明‘带有可测成分的比较原理’，验证均质化框架的合理性，该结果对非局部椭圆方程至关重要。
• 将先前关于周期环境的结果推广至随机环境，特别是针对由最优控制和带跳跃过程的随机微分博弈所导出的方程。

提出的方法

• 分析基于具有随机系数的完全非线性非局部椭圆方程的粘性解理论。
• 作为关键技术工具，建立了带有可测成分的比较原理，确保在最小假设下实现收敛。
• 通过系数族 K^αβ 和 f^αβ 在平移群 τ_x 作用下的遍历性与平稳性，识别出有效算子 F̄。
• 证明使用了罚方法以及障碍问题的正则性估计，以控制解族 u^ε 中的振荡。
• 利用关于平移不变性、单调性及障碍解的 Hölder 连续性的引理，推导出一致有界性。
• 通过爆破论证及极大函数的使用，控制定义域中‘坏’集合的测度，从而证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有平稳遍历系数的完全非线性积分微分方程的解族 u^ε 是否一致收敛于一个确定性的、平移不变的有效方程？
• RQ2 在随机设定下，能否为非局部椭圆方程建立‘带有可测成分的比较原理’，以满足均质化的要求？
• RQ3 有效方程 F̄(ū, x) = 0 的结构是什么？它与原始随机算子 F 的关系如何？
• RQ4 u^ε 到 ū 的收敛行为在几乎必然收敛性及关于 x 的一致性方面表现如何？
• RQ5 这些结果在多大程度上将已知的周期性均质化结果推广至随机、遍历情形？

主要发现

• 有效方程 F̄(ū, x) = 0 是确定性的、平移不变的，且为完全非线性方程，由原始随机算子的遍历平均导出。
• 解 u^ε 几乎必然在 ω 上、且在 D 的紧子集上关于 x 一致收敛于有效方程的解 ū。
• 收敛速率通过函数 m(η)/ε 量化，其中当 η → 0 时 m(η) → 0，表明‘坏’集合的测度随 ε 缩小。
• 作为关键技术结果，证明了‘带有可测成分的比较原理’，使均质化论证成为可能。
• 证明了非局部算子的障碍问题在指数 γ 下具有统一的 Hölder 连续性，γ 依赖于 n、λ、Λ、σ 及区域 A。
• 障碍解的平移性和单调性性质被严格建立，并用于在不同尺度上传播正则性与比较性质。