[论文解读] Stochastic homogenization of $L^\infty$ variational problems

Scott N. Armstrong, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文通过引入与eikonal方程相关的广义距离函数，并利用绝对极小化子的均质化，建立了在平稳遍历随机环境中 $L^\infty$ 变分问题的随机均质化。关键结果是：$\varepsilon$-依赖的绝对极小化子以几乎必然且一致的方式收敛到由均质化哈密顿量 $\overline{H}$ 控制的确定性有效问题的唯一绝对极小化子，该 $\overline{H}$ 与哈密顿-雅可比方程均质化中出现的一致。

ABSTRACT

We present a homogenization result for $L^\infty$ variational problems in general stationary ergodic random environments. By introducing a generalized notion of distance function (a special solution of an associated eikonal equation) and demonstrating a connection to absolute minimizers of the variational problem, we obtain the homogenization result as a consequence of the fact that the latter homogenizes in random environments.

研究动机与目标

• 在标准凸性方法因缺乏严格凸性而失效的平稳遍历随机介质中，建立 $L^\infty$ 变分问题的均质化。
• 通过引入绝对极小化子的概念，解决 $L^\infty$ 极小化中的非唯一性与非局域化问题，从而提供一个适定的框架。
• 通过有效哈密顿量 $\overline{H}$ 将 $L^\infty$ 变分问题与一阶哈密顿-雅可比方程的均质化联系起来。
• 在最小正则性与遍历性假设下，证明 $\varepsilon$-依赖的绝对极小化子以几乎必然且一致的方式收敛到确定性极限。
• 证明由随机环境导出的有效哈密顿量 $\overline{H}$ 控制了 $L^\infty$ 变分问题的极限行为。

提出的方法

• 引入广义距离函数 $d_{\mu,x_0}$，作为与哈密顿量 $H$ 相关的eikonal方程的解，以捕捉随机介质中连接点的最小代价。
• 利用次可加遍历定理，证明缩放后的距离函数 $t^{-1}d_{\mu,0}(ty,\omega)$ 几乎必然收敛到一个确定性的、正 homogeneous 的极限 $a_\mu(y)$。
• 证明极限 $a_\mu$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上满足eikonal方程 $\overline{H}(p + Da_\mu) = \mu$，从而将 $\overline{H}$ 识别为有效哈密顿量。
• 在粘性解框架中应用扰动测试函数方法，验证 $a_\mu$ 是eikonal方程的粘性解，确保其与均质化极限的一致性。
• 利用绝对极小化子的比较原理及极限问题解的唯一性，建立 $u^\varepsilon$ 到 $u$ 的一致收敛性。
• 通过证明哈密顿-雅可比方程的均质化蕴含变分问题的均质化，建立 $L^\infty$ 变分问题与哈密顿-雅可比方程之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有随机、平稳且遍历哈密顿量的 $L^\infty$ 变分问题是否能均质化为一个确定性极限？
• RQ2 在随机环境中，绝对极小化子的概念是否可用于克服 $L^\infty$ 极小化中的非唯一性与非局域化问题？
• RQ3 哈密顿-雅可比方程均质化中出现的有效哈密顿量 $\overline{H}$ 是否与控制 $L^\infty$ 变分问题极限行为的哈密顿量相同？
• RQ4 广义距离函数在连接随机 $L^\infty$ 问题与确定性极限中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，$\varepsilon$-依赖的绝对极小化子序列会以一致且几乎必然的方式收敛到有效问题的唯一极小化子？

主要发现

• 在 $\overline{U}$ 上，$L^\infty$ 变分问题的绝对极小化子 $u^\varepsilon$ 几乎必然且一致收敛到由 $\overline{H}$ 控制的确定性极限问题的唯一绝对极小化子 $u$。
• 有效哈密顿量 $\overline{H}$ 与一阶哈密顿-雅可比方程 $w^\varepsilon_t + H(Dw^\varepsilon, x/\varepsilon, \omega) = 0$ 的均质化中获得的结果完全一致。
• 广义距离函数 $d_{\mu,x_0}$（作为eikonal方程的解）被证明会均质化为确定性极限 $a_\mu$，其满足 $\overline{H}(p + Da_\mu) = \mu$。
• 极限 $a_\mu$ 是eikonal方程的粘性解，且具有正 homogeneous 性与Lipschitz连续性，从而保证了有效哈密顿量的存在性与正则性。
• 该收敛结果在最小假设下成立：$H$ 在 $p$ 上为凸且强制，关于 $(y,\omega)$ 是平稳且遍历的，且在 $(p,y)$ 上具有充分正则性。
• 证明依赖于次可加遍历定理与粘性解框架中的扰动测试函数方法，通过哈密顿-雅可比方程的联系，确立了 $L^\infty$ 问题的均质化。