[论文解读] Stochastic individual-based models with power law mutation rate on a general finite trait space

Loren Coquille, Anna Kraut+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文为无性、单倍体种群在具有幂律突变率（μ_K = K^{-1/α}）的有限性状图上构建了一个随机个体基础模型。在大种群极限（K→∞）下，证明了亚种群规模的对数时间演化遵循由适应度景观算法决定的分段仿射连续路径，将先前的确定性与稀有突变框架推广至包含共存突变体的更广泛突变制度。

ABSTRACT

We consider a stochastic individual-based model for the evolution of a haploid, asexually reproducing population. The space of possible traits is given by the vertices of a (possibly directed) finite graph $G=(V,E)$. The evolution of the population is driven by births, deaths, competition, and mutations along the edges of $G$. We are interested in the large population limit under a mutation rate $\\mu_K$ given by a negative power of the carrying capacity $K$ of the system: $\\mu_K=K^{-1/\\alpha},\\alpha>0$. This results in several mutant traits being present at the same time and competing for invading the resident population. We describe the time evolution of the orders of magnitude of each sub-population on the $\\log K$ time scale, as $K$ tends to infinity. Using techniques developed in [Champagnat, M\\'el\\'eard, Tran, 2019] we show that these are piecewise affine continuous functions, whose slopes are given by an algorithm describing the changes in the fitness landscape due to the succession of new resident or emergent types. This work generalises [Kraut, Bovier, 2019] to the stochastic setting, and Theorem 3.2 of [Bovier, Coquille, Smadi, 2018] to any finite mutation graph. We illustrate our theorem by a series of examples describing surprising phenomena arising from the geometry of the graph and/or the rate of mutations.

研究动机与目标

• 将现有的自适应动力学模型扩展至具有非稀有、幂律突变率的随机、有限种群设置。
• 分析当多个突变体共存并竞争时的大种群极限（K→∞），突破稀有突变假设的限制。
• 将文献[6]的定理3.2及文献[24]的结果推广至任意有限突变图与随机动力学。
• 利用基于适应度的算法，表征在 log K 时间尺度上亚种群规模数量级的时间演化。

提出的方法

• 在有限的、可能有向的性状图（G = (V, E)）上建模种群，个体沿边发生突变。
• 采用基于随机个体的过程，包含出生、死亡、竞争与突变事件，按承载能力K进行缩放。
• 设定突变率 μ_K = K^{-1/α}（α > 0），允许同时发生多次突变。
• 应用耦合技术与流极限论证，证明缩放后亚种群过程的收敛性。
• 推导出一个确定性算法，用于确定 log K 时间尺度上亚种群规模路径的分段仿射连续路径的斜率。
• 利用文献[10]和[21]的结果，证明极限动力学的收敛性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当突变率随承载能力的负幂次缩放，允许多个突变体共存时，种群如何演化？
• RQ2 在这样的突变制度下，亚种群规模在 log K 时间尺度上的极限行为是什么？
• RQ3 性状图的几何结构与突变率如何影响进化转变的序列？
• RQ4 能否基于适应度比较，用确定性算法描述优势型与新兴型的更替序列？
• RQ5 随机模型如何在 K→∞ 时收敛至亚种群规模的确定性路径？

主要发现

• 在 log K 时间尺度上，亚种群规模的时间演化在 K→∞ 时收敛为分段仿射连续函数。
• 这些路径的斜率由一个递归算法决定，该算法追踪因新优势型或新兴型出现而导致的适应度变化。
• 该模型将先前稀有突变制度与确定性设定下的结果推广至随机、有限及一般突变图的情形。
• 总种群规模在 log K 尺度上保持随机有界，每个亚种群收敛至类似逻辑斯谛型的平衡态。
• 收敛性对出生率、死亡率与竞争率的小扰动具有鲁棒性，确保极限动力学的稳定性。
• 即使突变发生在亚种群内部，该结果依然成立，因为它们不影响总种群规模的缩放。