[论文解读] Stochastic k-Server Problem: How Should Uber Work?

Sina Dehghani, Soheil Ehsani+3 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种随机 k-服务器问题，其中请求随时间从已知的概率分布中抽取，提出了一类非自适应在线算法，并在一般度量空间中实现了 3-近似保证。该文提出了一个整数规划模型以在该类中找到最优解，并设计了一种基于舍入的算法，在一般度量空间中实现 O(log n) 近似，在线和环形度量空间中实现 3-近似，进一步扩展到具有相关性随机 Uber 问题，从 k-服务器问题的 a-近似解可获得 (a+2)-近似解。

ABSTRACT

In this paper, we study a stochastic variant of the celebrated k-server problem. In the k-server problem, we are required to minimize the total movement of k servers that are serving an online sequence of t requests in a metric. In the stochastic setting we are given t independent distributions in advance, and at every time step i a request is drawn from Pi. Designing the optimal online algorithm in such setting is NP-hard, therefore the emphasis of our work is on designing an approximately optimal online algorithm. We first show a structural characterization for a certain class of non-adaptive online algorithms. We prove that in general metrics, the best of such algorithms has a cost of no worse than three times that of the optimal online algorithm. Next, we present an integer program that finds the optimal algorithm of this class for any arbitrary metric. Finally, by rounding the solution of the linear relaxation of this program, we present an online algorithm for the stochastic k-server problem with the approximation factor of 3 in the line and circle metrics and O(log n) in a general metric of size n. Moreover, we define the Uber problem, in which each demand consists of two endpoints, a source and a destination. We show that given an a-approximation algorithm for the k-server problem, we can obtain an (a+2)-approximation algorithm for the Uber problem. Motivated by the fact that demands are usually highly correlated with the time we study the stochastic Uber problem. Furthermore, we extend our results to the correlated setting where the probability of a request arriving at a certain point depends not only on the time step but also on the previously arrived requests.

研究动机与目标

• 设计一种针对随机 k-服务器问题的近似最优在线算法，其中请求从已知的时间相关分布中抽取。
• 刻画一类非自适应在线算法，并建立其相对于最优在线算法的性能界。
• 为在任意度量空间中寻找该类中的最优算法，提出一个整数规划公式。
• 将该框架扩展到随机 Uber 问题，其中每个请求具有起点和终点，并分析随时间变化的相关请求分布。

提出的方法

• 引入随机 k-服务器问题中非自适应在线算法的结构表征。
• 证明在一般度量空间中，最优非自适应算法的代价至多为最优在线算法的三倍。
• 制定一个整数规划以计算任意给定度量空间中的最优非自适应算法。
• 设计一种基于舍入的随机 k-服务器问题在线算法，实现在线和环形度量空间中的 3-近似，以及在大小为 n 的一般度量空间中的 O(log n) 近似。
• 将 Uber 问题定义为 k-服务器问题的两点请求变体，并证明：若 k-服务器问题有 a-近似解，则 Uber 问题可获得 (a+2)-近似解。
• 将模型扩展至相关请求分布，其中请求概率同时依赖于时间和先前请求。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般度量空间中，随机 k-服务器问题中最佳非自适应在线算法的性能保证是什么？
• RQ2 能否为任意度量空间中的最优非自适应算法建立整数规划公式？
• RQ3 基于舍入的在线算法在随机 k-服务器问题中，对一般、线性和环形度量空间可实现多大的近似因子？
• RQ4 从 k-服务器问题到具有起点-终点请求的 Uber 问题，近似比如何扩展？
• RQ5 在随机 Uber 问题中，时间和历史相关性对请求分布有何影响？

主要发现

• 在任意一般度量空间中，最佳非自适应在线算法的代价不会超过最优在线算法的三倍。
• 提出一个整数规划模型，可为任意给定度量空间找到最优非自适应算法。
• 基于舍入的在线算法在直线和环形度量空间中实现 3-近似，在大小为 n 的一般度量空间中实现 O(log n)-近似。
• 若 k-服务器问题存在 a-近似算法，则可构造出 Uber 问题的 (a+2)-近似算法。
• 该框架已扩展以处理相关请求分布，其中请求概率同时依赖于时间和先前请求。