[论文解读] Stochastic Lagrangian Flows for SDEs with rough coefficients

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 7

一句话总结

该论文建立了非退化扩散和粗糙系数的多维SDEs的随机拉格朗日流（SLFs）及几乎处处随机流（AESFs）的存在性与唯一性，将DiPerna-Lions理论扩展至随机设置。证明了在弱可积性与Sobolev正则性条件下此类流的存在性，并将结果应用于证明：对于带有加性噪声的3D纳维-斯托克斯方程的任意Leray-Hopf解，均存在唯一的随机流。

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of Stochastic Lagrangian Flows and almost everywhere Stochastic Flows for non-degenearted SDEs with rough coefficients. As an application of our main result, we show that there exists a unique Stochastic Flow corresponding to each Leray-Hopf solution of 3D Navier-Stokes equation in the DiPerna-Lions sense.

研究动机与目标

• 将DiPerna-Lions关于正则拉格朗日流的理论扩展至具有粗糙系数的SDEs的随机设置。
• 解决在极奇异漂移下，马林加勒框架中弱唯一性失效的问题，如反例所示。
• 在非退化扩散和系数的最小正则性假设下，建立随机拉格朗日流（SLFs）和几乎处处随机流（AESFs）的存在性与唯一性。
• 将该理论应用于构造每个带有加性噪声的3D纳维-斯托克斯方程Leray-Hopf解的唯一随机流。
• 提出一种基于Fokker-Planck方程和De Giorgi迭代的新理论框架，以处理超出Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件的低正则性SDEs。

提出的方法

• 在$L^∞$框架下使用Fokker-Planck方程分析相关SDEs的适定性。
• 应用De Giorgi的迭代技术，推导解测度密度的先验估计。
• 对漂移$b$和扩散$σ$施加弱可积性条件，包括$b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$，且满足$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$，并要求扩散非退化。
• 引入随机拉格朗日流（SLFs）的概念，即一族概率测度$\{\mathbb{P}_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$，满足局部鞅条件与密度有界性条件。
• 通过构造一个随机场$X: [0,T] \times \mathbb{R}^d \times \Omega \to \mathbb{R}^d$，证明了几乎处处随机流（AESF）的存在性，该场对一个几乎处处的初始条件构成强解。
• 采用Girsanov变换与路径唯一性论证，将Fokker-Planck方程与SDE联系起来，进而证明流的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有粗糙系数和非退化扩散的SDEs存在随机拉格朗日流？
• RQ2 当漂移满足$b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$且$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$时，即使在非退化条件下，弱唯一性是否仍可能失效？
• RQ3 当SDE在经典弱或强意义下不适定的情况下，是否仍可构造唯一的几乎处处随机流？
• RQ4 SLFs与AESFs的理论是否可用于构造3D纳维-斯托克斯方程解的随机流？
• RQ5 De Giorgi的迭代与Fokker-Planck方程分析在低正则性条件下如何共同促进随机流的存在性与唯一性证明？

主要发现

• 该论文证明了对于非退化扩散且系数满足$b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$且$\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$的SDEs，随机拉格朗日流（SLFs）的存在性与唯一性，将DiPerna-Lions理论推广至随机设置。
• 构造了一个反例，表明在上述可积性条件下，弱唯一性可能失效，从而否定了此类奇异漂移下经典马林加勒问题框架的适用性。
• 在对$b$和$\sigma$施加额外的Sobolev正则性假设后，建立了几乎处处随机流（AESFs）的存在性与唯一性，确保了对几乎所有初始条件存在强解。
• 对于任意带有$\sigma = \sqrt{2} \mathbb{I}_{3 \times 3}$的3D纳维-斯托克斯方程的Leray-Hopf解$b$，均存在唯一的随机流，从而为解提供了概率表示。
• 证明依赖于De Giorgi迭代以控制解测度的密度，并通过使用停时序列与击中时间序列的停时论证，证明了逃逸有界区域的正概率，从而确保非爆破性与常返性。