[论文解读] Stochastic Line-Motion and Stochastic Conservation Laws for Non-Ideal Hydromagnetic Models. I. Incompressible Fluids and Isotropic Transport Coefficients

Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 48被引用 11

一句话总结

本文通过在等离子体速度场中引入随机扰动，为非理想不可压缩磁流体动力学（MHD）模型建立了随机守恒律。证明了通过固定表面的磁通量等于在随机速度场下向后平移的表面族的磁通量的系综平均值，将阿尔文的磁通冻结定理推广至粘性与电阻性等离子体，且在单位磁普朗特数下，对霍尔MHD和双流体模型也得到等价结果。

ABSTRACT

We prove that smooth solutions of non-ideal (viscous and resistive) incompressible magnetohydrodynamic equations satisfy a stochastic law of flux conservation. This property involves an ensemble of surfaces obtained from a given, fixed surface by advecting it backward in time under the plasma velocity perturbed with a random white-noise. It is shown that the magnetic flux through the fixed surface is equal to the average of the magnetic fluxes through the ensemble of surfaces at earlier times. This result is an analogue of the well-known Alfven theorem of ideal MHD and is valid for any value of the magnetic Prandtl number. A second stochastic conservation law is shown to hold at unit Prandtl number, a random version of the generalized Kelvin theorem derived by Bekenstein-Oron for ideal MHD. These stochastic conservation laws are not only shown to be consequences of the non-ideal MHD equations, but are proved in fact to be equivalent to those equations. We derive similar results for two more refined hydromagnetic models, Hall magnetohydrodynamics and the two-fluid plasma model, still assuming incompressible velocities and isotropic transport coefficients. Finally, we use these results to discuss briefly the infinite-Reynolds-number limit of hydromagnetic turbulence and to support the conjecture that flux-conservation remains stochastic in that limit.

研究动机与目标

• 通过在速度场中引入随机性，将理想MHD的经典阿尔文定理推广至非理想、粘性及电阻性不可压缩MHD模型。
• 建立在随机拉格朗日粒子轨迹下，磁通量守恒以系综平均形式成立，即使粘性与电阻率非零亦成立。
• 证明这些随机守恒律不仅是非理想MHD方程的推论，而且与之等价，确保其根本性作用。
• 在相同不可压缩性与各向同性输运假设下，将结果推广至更精细的模型，包括霍尔MHD与双流体等离子体模型。
• 支持如下猜想：在磁流体湍流的无限雷诺数极限下，磁通守恒仍保持随机性，且与具体耗散形式无关。

提出的方法

• 通过以与粘性及电阻率成正比的幅度引入高斯白噪声，对速度场施加随机微分方程，以描述流体质点轨迹。
• 通过在随机速度场下对固定表面进行向后平移，定义一个随机表面族。
• 采用基于哈密顿结构导出的不可压缩MHD方程的韦伯形式，推导磁通与环量守恒的随机类比。
• 证明原始固定表面上的磁通量等于在更早时间通过随机平移表面族的磁通量的期望值。
• 建立非理想MHD方程与所导出的随机守恒律之间的等价性，表明它们不仅是推论，更是解的刻画。
• 通过在各向同性输运系数与不可压缩流动条件下应用相同的随机拉格朗日方法，将框架扩展至霍尔MHD与双流体模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将理想MHD中经典的磁通冻结定理推广至非理想、粘性及电阻性MHD模型？
• RQ2 当等离子体速度场受到白噪声扰动时，磁通量守恒是否仍以随机系综平均形式成立？
• RQ3 所得到的随机守恒律是否与非理想MHD方程等价，而不仅是必要推论？
• RQ4 能否为更精细的模型（如霍尔MHD与双流体等离子体模型）推导出类似的随机守恒律？
• RQ5 在磁流体湍流的无限雷诺数极限下，磁通守恒的随机性是否仍能保持，无论具体耗散机制为何？

主要发现

• 非理想不可压缩MHD的光滑解满足随机磁通守恒律：通过固定表面的磁通量等于在具有白噪声的随机速度场下向后平移的表面族的磁通量的系综平均值。
• 该随机阿尔文定理对任意磁普朗特数均成立，表明即使粘性与电阻率非零，磁通守恒仍有效。
• 在单位磁普朗特数下，进一步证明了第二个随机守恒律，其与贝肯斯坦-奥龙推广的开尔文定理类似，表明平均意义下的随机环量守恒。
• 随机守恒律不仅是非理想MHD方程的推论，且在数学上与之等价，意味着它们完全刻画了解。
• 在不可压缩流动与各向同性输运系数下，结果被推广至霍尔MHD与双流体模型，证实了随机框架的鲁棒性。
• 研究结果支持如下猜想：在磁流体湍流的无限雷诺数极限下，磁通守恒仍保持随机性，即使噪声振幅趋于零，原因在于粗糙速度场中仍存在随机粒子轨迹。