[论文解读] Stochastic Maximum Principle for a PDEs with noise and control on the boundary

Giuseppina Guatteri|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文针对边界处存在噪声与控制的随机偏微分方程（SPDEs），提出了一种新颖的方法，避免了二阶近似，通过利用伴随方程的正则性，建立了随机最大值原理。关键贡献在于，对于控制空间非凸的边界控制SPDEs，提出了一个在分数阶正则性假设下成立的必要最优性条件，收敛率为 $\varepsilon^{\alpha}$，其中 $\frac{1}{2} < \alpha < 1$。该框架通过加权 $L^2$ 空间和由预解理论导出的无界算子，适用于诺伊曼（Neumann）与狄利克雷（Dirichlet）边界条件。

ABSTRACT

In this paper we prove necessary conditions for optimality of a stochastic control problem for a class of stochastic partial differential equations that is controlled through the boundary. This kind of problems can be interpreted as a stochastic control problem for an evolution system in an Hilbert space. The regularity of the solution of the adjoint equation, that is a backward stochastic equation in infinite dimension, plays a crucial role in the formulation of the maximum principle.

研究动机与目标

• 开发一种适用于边界处同时存在噪声与控制的SPDEs的随机最大值原理，该设置相较于分布噪声与控制的研究更为有限。
• 通过证明具有 $\varepsilon^{\alpha}$ 收敛率的一阶最优性条件，解决非凸控制空间带来的挑战，该类问题通常需要二阶展开。
• 建立由边界控制导出的无界算子的正式伴随算子的域中伴随方程的正则性，从而支持最大值原理的表述。
• 通过引入加权 $L^2$ 空间框架，将最大值原理扩展至具有狄利克雷边界条件的SPDEs。
• 提供两个具体示例——诺伊曼与狄利克雷边界控制问题——以展示理论框架的适用性。

提出的方法

• 将SPDE表述为希尔伯特空间 $H = L^2(0,1)$ 或 $L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$ 中的无穷维随机演化方程，利用拉普拉斯算子的生成元 $A$ 及适当的边界条件。
• 引入无界算子 $(\lambda - A)D$ 与 $(\lambda - A)D_1$，以表示边界控制与噪声项，其中 $D$ 与 $D_1$ 将控制与维纳过程映射至 $\lambda - A$ 的分数阶幂的定义域，从而保证弱解的存在性。
• 利用预解理论及诺伊曼或狄利克雷特征值问题解 $d^i(x)$ 的存在性，定义边界算子 $D$ 与 $D_1$，确保无界项所需的正则性。
• 将伴随方程表述为希尔伯特空间 $H$ 中的无穷维倒向随机微分方程，证明其解取值于 $[(\lambda - A)D]^*$ 的定义域，这对最大值原理的成立至关重要。
• 通过分析代价泛函的一阶变分，建立最大值原理，证明在 $\varepsilon^{\alpha}$ 阶近似下（$\alpha > \frac{1}{2}$）哈密顿条件成立，从而避免使用二阶项。
• 在两个示例中验证最大值原理的条件：一个为有界区域上的诺伊曼边界条件，另一个为无界区域上的狄利克雷条件，通过加权 $L^2$ 空间确保算子正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为边界处同时存在噪声与控制的SPDEs建立随机最大值原理，而非噪声与控制在空间中分布的情形？
• RQ2 当控制空间为非凸时，如何建立最大值原理？此类情形通常需要二阶展开。
• RQ3 为确保在存在无界边界算子的情况下最大值原理的有效性，伴随方程需要何种正则性条件？
• RQ4 当标准 $L^2$ 空间无法支持所需算子正则性时，如何将边界噪声与控制嵌入希尔伯特空间框架？
• RQ5 该框架在多大程度上可扩展至狄利克雷边界条件？此类边界条件在半群与演化方程表述中通常存在困难。

主要发现

• 本文为具有边界控制与噪声的SPDEs建立了随机最大值原理，即使控制空间为非凸，也通过证明 $\varepsilon^{\alpha}$ 收敛率（$\frac{1}{2} < \alpha < 1$）的一阶最优性条件，实现了该原理的有效性。
• 证明了伴随方程的解取值于 $[(\lambda - A)D]^*$ 的定义域，这对哈密顿函数的表述至关重要，并确保了最大值原理的有效性。
• 对于区间 $[0,1]$ 上的诺伊曼边界条件，若存在解 $d^i \in H^{2\alpha}(0,1)$ 满足特征值问题，则可保证边界算子所需的正则性。
• 对于 $[0,\infty)$ 上的狄利克雷条件，使用加权 $L^2$ 空间 $L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$ 可使狄利克雷映射取值于 $D((\lambda - A)^\alpha)$（$\alpha > \frac{1}{2}$），从而支持演化方程的表述。
• 在两个示例中，代价泛函均定义良好，并满足所需的光滑性与增长条件，其中 $l$ 与 $h$ 的导数有界或为次线性增长。
• 通过两个具体示例验证了理论结果：一个为具有空间-时间白噪声的诺伊曼边界控制问题，另一个为具有边界维纳过程的狄利克雷边界控制问题，两者均表明主定理的假设条件得以满足。