[论文解读] (Stochastic) Model Predictive Control -- a Simulation Example

Tim Brüdigam|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Advanced Control Systems Optimization被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于仿真的随机模型预测控制（SMPC）方法，适用于具有高斯不确定性线性系统，通过误差协方差和反误差函数对硬状态约束进行概率收紧，将其重新表述为机会约束。该方法确保在预设概率水平β下满足约束条件，通过基于MATLAB的示例进行演示，包含显式推导和代码公开。

ABSTRACT

This brief introduction to Model Predictive Control specifically addresses stochastic Model Predictive Control, where probabilistic constraints are considered. A simple linear system subject to uncertainty serves as an example. The Matlab code for this stochastic Model Predictive Control example is available online.

研究动机与目标

• 解决在存在随机扰动时控制线性系统并以指定概率遵守状态约束的挑战。
• 在仿真环境中引入一种实用的随机模型预测控制（SMPC）框架，支持机会约束。
• 提供基于误差协方差和正态分布及一般分布的概率边界，对约束收紧的推导与实现。
• 通过一个具体的MATLAB代码示例，展示约束违反风险与控制性能之间的权衡。
• 阐明预测型SMPC中不确定性协方差（Σw）与误差协方差（Σe_k）之间的区别。

提出的方法

• 基于线性系统模型 xk+1 = Axk + Buk，构建一个具有状态和输入约束的确定性MPC问题。
• 在系统动态中引入均值为零的高斯过程噪声 wk ∼ N(0, Σw)，从而得到 xk+1 = Axk + Buk + Dwk。
• 通过反误差函数将硬状态约束 x1,k ≤ 2.8 重新表述为机会约束 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β：γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1)。
• 将状态分解为确定性和随机分量：xk = zk + ek，并通过重新参数化输入 uk = −Kxk + vk，将反馈控制与不确定性处理解耦。
• 通过递推公式 Σe_k+1 = (A − BK)Σe_k(A − BK)ᵀ + DΣwDᵀ 传播误差协方差矩阵，初始条件为 Σe_0 = diag(0,0)。
• 通过将原始约束 x1,k ≤ 2.8 替换为 x1,k ≤ 2.8 − γk 实现约束收紧，其中 γk 依赖于 β 和预测误差方差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在随机扰动时，如何将硬状态约束重新表述为允许概率性违反的机会约束？
• RQ2 在高斯不确定性下，风险参数 β 与所需约束收紧量 γk 之间的解析关系是什么？
• RQ3 在SMPC中，误差协方差 Σe_k 如何随预测步长演化，其对约束收紧有何影响？
• RQ4 在保守性方面，SMPC中使用正态分布与一般概率分布的性能差异如何？
• RQ5 风险参数 β 的选择如何影响约束违反概率与控制努力之间的权衡？

主要发现

• 机会约束 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β 被重表述为 x1,k ≤ 2.8 − γk，其中 γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1)，从而实现可处理的SMPC实现。
• 对于正态分布不确定性，通过反误差函数推导出约束收紧量 γk，该方法在高斯假设下提供精确重表述。
• 对于一般概率分布，约束收紧通过Cantelli不等式近似得到，即 γk = σ ⋅ √(β / (1 − β))，其保守性高于高斯情况。
• 收紧参数 γk 随预测时域增加而增大，反映了随时间累积的不确定性增加，且必须在每个预测步长计算。
• 误差协方差矩阵 Σe_k 通过递推传播，其演化依赖于闭环动态 (A − BK) 和过程噪声协方差 Σw，与初始状态无关。
• 仿真示例表明，采用机会约束的SMPC即使在随机扰动下仍能以概率 β 维持约束满足，同时避免过度保守的控制动作。