[论文解读] Stochastic Modeling of an Infectious Disease, Part I: Understand the Negative Binomial Distribution and Predict an Epidemic More Reliably

Hisashi Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出一种带有移民的随机出生-死亡过程（BDI）模型，以更准确地预测传染病传播。研究表明，参数 r < 1 的负二项分布（NBD）能够捕捉到真实疫情（如COVID-19）中常见的重尾、高度可变的感染模式。其关键贡献在于表明，确定性SIR模型因低估变异性而失效，因为NBD的变异系数超过 r⁻¹ > 1，导致中位数和均值预测不可靠。

ABSTRACT

Why are the epidemic patterns of COVID-19 so different among different cities or countries which are similar in their populations, medical infrastructures, and people's behavior? Why are forecasts or predictions made by so-called experts often grossly wrong, concerning the numbers of people who get infected or die? The purpose of this study is to better understand the stochastic nature of an epidemic disease, and answer the above questions. Much of the work on infectious diseases has been based on "SIR deterministic models," (Kermack and McKendrick:1927.) We will explore stochastic models that can capture the essence of the seemingly erratic behavior of an infectious disease. A stochastic model, in its formulation, takes into account the random nature of an infectious disease. The stochastic model we study here is based on the "birth-and-death process with immigration" (BDI for short), which was proposed in the study of population growth or extinction of some biological species. The BDI process model ,however, has not been investigated by the epidemiology community. The BDI process is one of a few birth-and-death processes, which we can solve analytically. Its time-dependent probability distribution function is a "negative binomial distribution" with its parameter $r$ less than $1$. The "coefficient of variation" of the process is larger than $\sqrt{1/r} &gt; 1$. Furthermore, it has a long tail like the zeta distribution. These properties explain why infection patterns exhibit enormously large variations. The number of infected predicted by a deterministic model is much greater than the median of the distribution. This explains why any forecast based on a deterministic model will fail more often than not.

研究动机与目标

• 为解决确定性SIR模型在预测传染病传播方面的局限性，特别是其无法捕捉真实数据中高度可变性的缺陷。
• 探究为何在人口和行为相似的城市或国家之间，疫情模式存在显著差异。
• 证明基于BDI过程的随机模型通过考虑内在随机性，能提供比确定性模型更可靠的预测。
• 建立BDI过程的解析可解性，并表明其时间依赖概率分布遵循参数 r < 1 的广义负二项分布（NBD）。
• 通过NBD的特性（如长尾和高变异系数）解释感染数量极端变异的统计成因。

提出的方法

• 基于带有移民的出生-死亡过程（BDI）构建随机模型，其中感染和恢复被建模为具有时变速率的随机事件。
• 采用偏微分方程（PDE）方法推导感染人群 I(t) 的概率生成函数（PGF），并通过特征线法求解。
• 表明 I(t) 的时间依赖分布为广义负二项分布（NBD），其PGF可表示为两部分乘积：一部分对应BDI过程，另一部分对应无移民的出生-死亡过程。
• 分析BDI过程的稳态与瞬态行为，特别在 I(0) = 0 的情况下，推导出PGF的闭式解。
• 利用PGF计算矩（均值、方差），并推导变异系数（CV），表明当 r < 1 时，CV > r⁻¹ > 1。
• 证明当 r 较小时，NBD呈现长尾分布，类似于齐普夫定律（Zipf’s law），从而解释真实疫情数据中极端偏离现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何像COVID-19这样的疾病在地理和行为相似的地区间表现出如此广泛的疫情模式？
• RQ2 为何确定性SIR模型的预测始终无法匹配实际感染数量，特别是在极端结果方面？
• RQ3 基于BDI过程的随机模型是否能比确定性模型更好地捕捉真实疫情数据中重尾、高度可变的特性？
• RQ4 具有移民的随机流行病模型中，感染人数的时间依赖概率分布的解析形式是什么？
• RQ5 当 r < 1 时，负二项分布的变异系数与流行病预测可靠性之间有何关系？

主要发现

• 在BDI模型中，感染人数 I(t) 的时间依赖分布遵循广义负二项分布（NBD），其PGF对任意初始条件均可闭式推导。
• 当 I(0) = 0 时，PGF简化为 G(z,t) = [a / (λe^{at} - μ - λ(e^{at} - 1)z)]^r，其中 a = λ - μ，提供一个解析可处理的解。
• 当 r < 1 时，NBD的变异系数（CV）超过 r⁻¹ > 1，表明该分布具有高度可变性，这解释了真实疫情中观察到的大范围偏离。
• 当 r 较小时，NBD表现出长尾特性，类似于zeta分布（齐普夫定律），可解释确定性模型所忽略的极端感染数量。
• 确定性模型预测的均值远偏离真实随机分布的中位数，这解释了为何确定性预测系统性不可靠。
• BDI过程是少数能够获得解析解的带有移民的出生-死亡过程之一，使其成为建模随机流行病动力学的强大工具。