[论文解读] Stochastic monotonicity and realizable monotonicity

James Allen Fill, Motoya Machida|ArXiv.org|May 27, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文研究有限偏序集（posets）上概率测度的随机单调性与可实现单调性之间的等价性。研究发现，虽然随机单调性是可实现单调性的必要条件，但二者并不总等价；然而，当指标偏序集 𝒜 为无环且状态偏序集 𝒮 为路径（Z类）时，或当 𝒮 无环时，二者等价。主要贡献在于，通过在路径上使用逆概率变换，提出了一个确保等价性的充分条件。

ABSTRACT

We explore and relate two notions of monotonicity, stochastic and realizable, for a system of probability measures on a common finite partially ordered set (poset) S when the measures are indexed by another poset A. We give counterexamples to show that the two notions are not always equivalent, but for various large classes of S we also present conditions on the poset A that are necessary and sufficient for equivalence. When A = S, the condition that the cover graph of S have no cycles is necessary and sufficient for equivalence. This case arises in comparing applicability of the perfect sampling algorithms of Propp and Wilson and the first author of the present paper.

研究动机与目标

• 澄清有限偏序集上概率测度系统中随机单调性与可实现单调性之间的关系。
• 识别随机单调性蕴含可实现单调性的条件，解决完美采样算法中的一个关键问题。
• 确定在何种条件下，对偏序集顺序保持的随机变量耦合存在性可由随机序保证。
• 表征使单调性等价成立的状态偏序集 𝒮 与指标偏序集 𝒜，尤其在完美模拟的背景下。
• 将逆概率变换方法扩展至 Z 类偏序集（路径）上，实现单调性，从而实现构造性耦合。

提出的方法

• 通过上集上的随机优势定义随机单调性：若对所有上集 U 都有 P₁(U) ≤ P₂(U)，则称 P₁ ≼ P₂。
• 将可实现单调性定义为存在一个耦合 (Xₐ)，使得当 𝒜 中 α ≤ β 时，有 Xₐ ≤ Xᵦ。
• 利用 Strassen 定理证明随机单调性是可实现单调性的必要条件。
• 构造反例（例如钻石形偏序集）以表明随机单调性在一般情况下并不充分。
• 引入 Z 类偏序集（路径），并基于路径上的线性序定义逆概率变换 P⁻¹(u) = min{xₖ : u < F(xₖ)}。
• 证明随机序等价于逆变换的逐点序：对所有 u ∈ [0,1)，有 P₁⁻¹(u) ≤ P₂⁻¹(u)，从而可通过单个均匀随机变量实现耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，状态偏序集 𝒮 与指标偏序集 𝒜 的结构使得随机单调性与可实现单调性等价？
• RQ2 为何随机单调性在一般情况下无法保证可实现单调性？其中存在的结构性障碍是什么？
• RQ3 逆概率变换是否可用于在 Z 类偏序集（即路径）上的随机单调系统中构造耦合？
• RQ4 状态偏序集 𝒮 的覆盖图的无环性在确保单调性等价中起什么作用？
• RQ5 当状态空间为路径（Z 类）时，是否存在一种构造性方法来实现单调性？

主要发现

• 随机单调性与可实现单调性在一般情况下并不等价，如在二维布尔代数（钻石偏序集）上的反例所示。
• 当状态偏序集 𝒮 为路径（Z 类）时，通过逆概率变换构造，随机单调性可推出可实现单调性。
• 对于 𝒮 属于 Z 类的情况，定义 Xₐ = Pₐ⁻¹(U)，其中 U ∼ Uniform[0,1)，可得到一个耦合，满足当 𝒜 中 α ≤ β 时，有 Xₐ ≤ Xᵦ。
• 若 𝒮 不属于 B 类且 𝒜 可被扩展为无环偏序集，则 (𝒜,𝒮) 的单调性等价性成立。
• 当 𝒮 = 𝒜 且 𝒮 的覆盖图无环时，单调性等价性成立当且仅当其覆盖图为无环图。
• 该结果推广了例 1.2，并在状态空间为路径时，为完美采样提供了构造性方法。